「数学的帰納法」について
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（3ページ目：全131問中21問～30問を表示）
国立 香川大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は，
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
\[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \]
を示せ．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
\[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \]
を示せ．
国立 香川大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は，
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
\[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \]
を示せ．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
\[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \]
を示せ．
国立 福岡教育大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$を定数とし，$0<a<1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]
(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$を定数とし，$0<a<1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]
国立 福岡教育大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$は正の定数で，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]
(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$は正の定数で，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]
国立 群馬大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第1問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 愛知教育大学 2015年 第5問$n$を自然数とするとき，等式
\[ 1 \cdot (2n-1)+2 \cdot (2n-3)+3 \cdot (2n-5)+\cdots +(n-1) \cdot 3+n \cdot 1=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つことを，数学的帰納法により証明せよ．
\[ 1 \cdot (2n-1)+2 \cdot (2n-3)+3 \cdot (2n-5)+\cdots +(n-1) \cdot 3+n \cdot 1=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つことを，数学的帰納法により証明せよ．
国立 宮崎大学 2015年 第2問初項$a_1=0$と漸化式
\[ a_{n+1}=(1-r) r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．ただし，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を，$r$を用いてそれぞれ表せ．
(2)第$n$項$a_n$を推測して，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し，$r,\ n$を用いて表せ．
\[ a_{n+1}=(1-r) r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．ただし，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を，$r$を用いてそれぞれ表せ．
(2)第$n$項$a_n$を推測して，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し，$r,\ n$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2015年 第5問初項$a_1=0$と漸化式
\[ a_{n+1}=(1-r)r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．ただし，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を，$r$を用いてそれぞれ表せ．
(2)第$n$項$a_n$を推測して，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し，$r,\ n$を用いて表せ．
\[ a_{n+1}=(1-r)r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．ただし，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を，$r$を用いてそれぞれ表せ．
(2)第$n$項$a_n$を推測して，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し，$r,\ n$を用いて表せ．