タグ「数学的帰納法」の検索結果

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埼玉大学 国立 埼玉大学 2016年 第2問
$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする.次の問いに答えよ.

(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ.
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め,数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.

\mon[(ア)] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ.
\mon[(イ)] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
\mon[(ウ)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第3問
数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする.

(1)$x_2$を$x_1$で表せ.また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ.
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$y_n$を$y_1$と$n$で表せ.

(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ.

(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第3問
数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする.

(1)$x_2$を$x_1$で表せ.また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ.
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$y_n$を$y_1$と$n$で表せ.

(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ.

(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ.
三重大学 国立 三重大学 2016年 第3問
数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする.

(1)$x_2$を$x_1$で表せ.また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ.
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$y_n$を$y_1$と$n$で表せ.

(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ.

(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ.
山口大学 国立 山口大学 2016年 第4問
$n$を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし,
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする.$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし,
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする.また,$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し,$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく.

(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい.
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい.
東北大学 国立 東北大学 2016年 第2問
以下の問いに答えよ.

(1)$6$以上の整数$n$に対して不等式
\[ 2^n>n^2+7 \]
が成り立つことを数学的帰納法により示せ.
(2)等式
\[ p^q=q^p+7 \]
を満たす素数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第4問
$n$を正の整数とする.$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k \cdot 2^k}$とおく.以下の問に答えよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.

(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,$x \neq 1$とする.

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.

(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.

(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ.

(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ.
室蘭工業大学 国立 室蘭工業大学 2016年 第3問
$a,\ b,\ c,\ m$を整数とする.

(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば,$a-c$も$m$の倍数であることを示せ.
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して,すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを,数学的帰納法により示せ.
(3)$2016$を素因数分解せよ.また,$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ.
愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2016年 第2問
すべての自然数$n$について,$3^n-2n+3$は$4$の倍数である.このことを,数学的帰納法を用いて示せ.
愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2016年 第5問
すべての自然数$n$について,$3^{3n+1}+7^{2n-1}$は$11$の倍数である.このことを,数学的帰納法を用いて示せ.
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「数学的帰納法」とは・・・

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