「数学的帰納法」について
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国立 埼玉大学 2016年 第2問$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．
\mon[（ア）] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
\mon[（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．
\mon[（ア）] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
\mon[（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第3問数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
国立 三重大学 2016年 第3問数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
国立 三重大学 2016年 第3問数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
国立 山口大学 2016年 第4問$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし，
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする．$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい．
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし，
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする．また，$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し，$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく．
(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい．
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい．
(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし，
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする．$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい．
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし，
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする．また，$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し，$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく．
(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい．
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい．
国立 東北大学 2016年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)$6$以上の整数$n$に対して不等式
\[ 2^n>n^2+7 \]
が成り立つことを数学的帰納法により示せ．
(2)等式
\[ p^q=q^p+7 \]
を満たす素数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ．
(1)$6$以上の整数$n$に対して不等式
\[ 2^n>n^2+7 \]
が成り立つことを数学的帰納法により示せ．
(2)等式
\[ p^q=q^p+7 \]
を満たす素数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ．
国立 岐阜大学 2016年 第4問$n$を正の整数とする．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k \cdot 2^k}$とおく．以下の問に答えよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$x \neq 1$とする．
(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．
(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$x \neq 1$とする．
(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．
(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2016年 第3問$a,\ b,\ c,\ m$を整数とする．
(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．
(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．
国立 愛知教育大学 2016年 第2問すべての自然数$n$について，$3^n-2n+3$は$4$の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．
国立 愛知教育大学 2016年 第5問すべての自然数$n$について，$3^{3n+1}+7^{2n-1}$は$11$の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．