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横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2016年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した.その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする.平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々

$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$

で与えられる.標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる.このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる($x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$).偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ.
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し,たまたま$2n$人の学生が$a$点,残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう.簡単にするために$a<b$とする.$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ.
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める.簡単にするために$x>0,\ y>0$とする.まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく.$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として,$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ.
次に,解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ.
(3)$n$を自然数とする.漸化式

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$

で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(4)$n$を$0$以上の整数とする.以下の不定積分を求めよ.
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [ ] \]
ただし,積分定数は書かなくてよい.
鳥取環境大学 公立 鳥取環境大学 2013年 第5問
以下の問に答えよ.

(1)次の$(ⅰ)$~$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ.また真の場合は理由を示し,偽の場合は反例を示せ.命題でない場合は「命題でない」と答えよ.

(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である.
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である.
(iii) 数学は美しい.

(2)次の$(ⅰ)$~$\tokeigo$の$[ ]$の中に,必要条件であるが十分条件でない,十分条件であるが必要条件でない,必要十分条件である,必要条件でも十分条件でもない,のいずれが当てはまるか答えよ.

(i) $x$が偶数であることは,$x$が整数であるための$[ ]$.
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは,三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[ ]$.
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき,$y>2x^2$であることは,$y>x^2-2x-2$であるための$[ ]$.
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは,四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[ ]$.
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは,四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[ ]$.

(3)次の命題(ア),(イ)の逆,裏,対偶をそれぞれ書け.また,元の命題,逆,裏,対偶の真偽をそれぞれ答えよ.

\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である.
\mon[(イ)] $n$を整数とする.$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である.
上智大学 私立 上智大学 2011年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{X}$大学には$5$つの学部があり,全ての学部で入学試験を行っている.次の$7$つの命題$(\mathrm{A})$~$(\mathrm{G})$の中で,お互いに否定命題となっている全ての組を以下の選択肢から選べ.もし,否定命題となっている組で選択肢にないものが存在するときは,$z$もマークせよ.

$(\mathrm{A})$ $\mathrm{X}$大学のある学部の入学試験科目には,数学がある.
$(\mathrm{B})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で,入学試験科目に数学があるのはただ一つである.
$(\mathrm{C})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には,数学がある.
$(\mathrm{D})$ $\mathrm{X}$大学には,入学試験科目に数学がない学部がある.
$(\mathrm{E})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には,数学がない.
$(\mathrm{F})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で,入学試験科目に数学がないのはただ一つである.
$(\mathrm{G})$ $\mathrm{X}$大学には,入学試験科目に数学がある学部とない学部の両方がある.

選択肢:
\[ \begin{array}{rlp{1mm}rlp{1mm}rlp{1mm}rl}
1. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{C}) & & 2. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 3. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 4. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{G}) \\
5. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{F}) & & 6. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 7. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 8. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{E}) \\
9. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 10. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 11. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 12. & (\mathrm{E}) \text{と} (\mathrm{F})
\end{array} \]
(2)$f(0)=1$,$g(0)=2$を満たす$2$つの整式$f(x)$,$g(x)$に対して$p(x)=f(x)+g(x)$,$q(x)=f(x)g(x)$とおく.$\displaystyle \frac{d}{dx}p(x)=3$,$\displaystyle \frac{d}{dx}q(x)=4x+k$であるとき,$k=[ア]$または$[イ]$である.ただし$[ア]<[イ]$である.
(3)方程式$4^{x+1}+3 \cdot 2^x-1=0$の解は$x=[ウ]$である.
兵庫県立大学 公立 兵庫県立大学 2011年 第5問
全生徒に対し,英語と数学の試験を実施した.英語の試験で80点以上の生徒の集合をA,数学の試験で80点以上の生徒の集合をBとするとき,次の集合を,記号を用いて表しなさい.

(1)英語または数学が80点未満の生徒の集合
(2)英語と数学が共に80点未満の生徒の集合
(3)英語が80点以上であって数学が80点未満の生徒の集合
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