$1,\ 2,\ 3,\ 4$の$4$個の数字を使って，$3$桁の数を作る．このとき，各桁の数字が異なり，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．また，各桁の数字に重複を許すとき，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．

$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$個の数字を使って，$4$桁の数を作る．このとき，各桁の数字が異なり，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．また，各桁の数字に重複を許すとき，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．

赤，青，黄色$3$色のカードがそれぞれ$5$枚ずつあり，各色のカードに$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれている．これら$15$枚のカードから無作為に$3$枚を同時に取り出すとき，以下の各問いに答えよ．

(1)取り出し方の総数を求めよ．ただし，カードの色も数字も区別する．
(2)$3$枚とも同じ数字となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードのうち，青いカードが$1$枚だけとなる確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{8}+1)$を計算せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)連立不等式$2-3x \leqq 5,\ 2(x-1)>3x-5$を解け．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$のうちから異なる$3$個の数字を並べて$3$桁の整数をつくる．奇数はいくつできるか．
(5)$2$次関数$y=x^2+2ax+4$は$x=1$のとき最小値をとる．その最小値を求めよ．

図のように，$1$から$9$までの異なる自然数の書かれたボタンを$3$行$3$列に並べる．
（図は省略）

(1)ボタンの並べ方は，全部で何通りあるか．
(2)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて奇数となる並べ方は何通りあるか．
(3)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて$3$の倍数となる並べ方は何通りあるか．

次の$[ア]$から$[コ]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}-2 \sqrt{4+\sqrt{15}}=[ア]$
(2)平行四辺形$\mathrm{OACB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に分ける点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{a}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{b}$である．
(3)あるパーティー会場には$100$名の来場者があった．来場までの交通手段についてアンケートをとったところ，電車を利用した人が$46$名，バスを利用した人が$53$名，両方とも利用した人が$12$名であった．無回答の人はいなかった．このとき，電車もバスも利用していない人は$[カ][キ]$名である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^2 (|x^2+x-2|+1) \, dx=\frac{[ク][ケ]}{[コ]}$

$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$ケタの整数を$x$とする．ただし，同じ数字をくり返し使ってよい．整数$x$の千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．

(1)整数$x$は全部で$[ヌ]$個できる．
(2)$a=d$となる$x$は全部で$[ネ]$個できる．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，$3$個以上が同じ数字となる$x$は全部で$[ノ]$個できる．
(4)$a+b+c+d$が$12$以上となる$x$は全部で$[ハ]$個できる．
(5)$3$の倍数となる$x$は全部で$[ヒ]$個できる．また，$4$の倍数となる$x$は全部で$[フ]$個できる．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．

次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

$f(x)$はすべての係数が整数であるような$3$次多項式で，$x^3$の係数が$1$であり，
\[ \frac{-\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[3]{2} \sqrt{3}i}{2} \]
は方程式$f(x)=0$の解の$1$つであるとする．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，
\[ f(x)=x^3+[チ]x^2+[ツ]x-[テ] \]
であり，$f(x)=0$の実数解は${[ト]}^{\frac{1}{3}}-[ナ]$である．

次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，$P(x)=ax^2+bx+c$とする．
$\{P(x)\}^5-x$が$(x-1)(x-2)(x-3)$で割り切れるとき，

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}\left( 3^{\frac{\mkakko{ニ}}{\mkakko{ヌ}}}-2^{\frac{\mkakko{ネ}}{\mkakko{ノ}}}+[ハ] \right)$
(2)$\displaystyle b=-\frac{1}{2} \cdot 3^{\frac{\mkakko{ヒ}}{\mkakko{フ}}}+2^{\frac{[ヘホ]}{\mkakko{マ}}}-\frac{[ミ]}{[ム]}$
(3)$\displaystyle c=3^{\frac{\mkakko{メ}}{\mkakko{モ}}}-[ヤ] \cdot 2^{\frac{\mkakko{ユ}}{\mkakko{ヨ}}}+[ラ]$

である．