「数列」について
タグ「数列」の検索結果
（2ページ目：全826問中11問～20問を表示）
国立 三重大学 2016年 第3問数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
国立 三重大学 2016年 第3問数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
国立 岐阜大学 2016年 第4問数列$\{r_n\}$を初項$r_1=1$，公差$1$の等差数列とする．また，数列$\{a_n\}$を次の式で定める．
\[ a_n={r_n}^2+\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問に答えよ．
(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)円$C_n:x^2+(y-a_n)^2={r_n}^2$と放物線$P:y=x^2$の共有点の座標を求めよ．
(3)円$C_n$と円$C_{n+1}$の共有点$(x_n,\ y_n)$の座標を求めよ．
(4)円$C_1,\ C_2,\ C_3$と放物線$P$の概形を描け．
\[ a_n={r_n}^2+\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問に答えよ．
(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)円$C_n:x^2+(y-a_n)^2={r_n}^2$と放物線$P:y=x^2$の共有点の座標を求めよ．
(3)円$C_n$と円$C_{n+1}$の共有点$(x_n,\ y_n)$の座標を求めよ．
(4)円$C_1,\ C_2,\ C_3$と放物線$P$の概形を描け．
国立 富山大学 2016年 第2問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2016年 第4問各項が正の数である$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は
$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$c_n=\log a_n$，$d_n=\log b_n$とおく．ただし，対数は自然対数とする．
\[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \]
を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．
$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$c_n=\log a_n$，$d_n=\log b_n$とおく．ただし，対数は自然対数とする．
\[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \]
を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第2問$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第1問$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第5問一般項が$\displaystyle a_n=\frac{n!}{n^n}$で表される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$を求めよ．
(3)$2$以上の整数$k$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle\frac{a_{kn}}{a_n} \right)^{\frac{1}{n}}$を$k$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$を求めよ．
(3)$2$以上の整数$k$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle\frac{a_{kn}}{a_n} \right)^{\frac{1}{n}}$を$k$を用いて表せ．
国立 滋賀大学 2016年 第2問数列
\[ \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \cdots,\ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n},\ \cdots,\ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n},\ \cdots \]
を次のような群に分ける．
$\displaystyle \frac{1}{1} \;\bigg|\; \frac{1}{2},\ \frac{2}{2} \;\bigg|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3} \;\bigg|\; \cdots \;\bigg|\; \frac{1}{n},\ \frac{2}{n},\ \cdots,\ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \;\bigg|\; \cdots$
\hspace{-2mm}{\scriptsize 第$1$群 \quad\; 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群 \hspace{32mm} 第$n$群}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)第$28$群に入るすべての項の和を求めよ．
(2)第$n$群の最初の数が第何項かを求めよ．
(3)第$2016$項を求めよ．
\[ \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \cdots,\ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n},\ \cdots,\ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n},\ \cdots \]
を次のような群に分ける．
$\displaystyle \frac{1}{1} \;\bigg|\; \frac{1}{2},\ \frac{2}{2} \;\bigg|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3} \;\bigg|\; \cdots \;\bigg|\; \frac{1}{n},\ \frac{2}{n},\ \cdots,\ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \;\bigg|\; \cdots$
\hspace{-2mm}{\scriptsize 第$1$群 \quad\; 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群 \hspace{32mm} 第$n$群}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)第$28$群に入るすべての項の和を求めよ．
(2)第$n$群の最初の数が第何項かを求めよ．
(3)第$2016$項を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第3問数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]