辺の長さが$1$の正方形を$S_1$とし，$S_1$に内接する円を$C_1$，$C_1$に内接するひとつの正方形を$S_2$，$S_2$に内接する円を$C_2$とする．以下同様に，自然数$n$に対し，正方形$S_n$，円$C_n$を定める．すなわち，正方形$S_n$の内接円が$C_n$であり，正方形$S_{n+1}$は円$C_n$に内接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S_n$の辺の長さを$l_n$とするとき，$C_n$の半径を$l_n$で表せ．
(2)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$の内部から$C_n$の内部を除いた部分の面積を$a_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$|3-2x|<1$を解け．
(2)次の等式が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b$の値を定めよ．
\[ \frac{2x-18}{(x+3)(x-5)}=\frac{a}{x+3}+\frac{b}{x-5} \]
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n 2k(3k-1)$を求めよ．

等差数列$\{a_n\}$が，$a_{15}+a_{23}=-240$，$a_{19}+a_{20}+a_{21}=-318$を満たしている．このとき，公差は$[ウエ]$であり，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$は$n=[オカ]$のとき最小となる．

次のデータは，ある高校$3$年生$9$人の$100$点満点の試験の結果である．
\[ 65,\ 83,\ 64,\ 69,\ 89,\ 68,\ 77,\ 70,\ 81 \]
データを順に，$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots,\ x_9$と表す．このとき，$\displaystyle \sum_{i=1}^9 (x_i-\theta)^2$を最小にする$\theta$の値は$[スセ]$である．また，$\displaystyle \sum_{i=1}^9 |x_i-\theta|$を最小にする$\theta$の値は$[ソタ]$である．

正の整数$a,\ b$の組$(a,\ b)$の全体を
\[ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1),\ (1,\ 3),\ \cdots \]
のように$1$列に並べる．ここで，$2$つの組$(a_i,\ b_i) (i=1,\ 2)$について，$a_1+b_1<a_2+b_2$ならば$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べ，また，$a_1+b_1=a_2+b_2$ならば，$a_1<a_2$のとき$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べるものとする．次の各問に答えよ．なお，必要ならば公式
\[ \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \]
を使ってよい．

(1)組$(5,\ 5)$は初めから何番目にあるか．
(2)$m,\ n$を正の整数とする．組$(m,\ n)$は初めから何番目にあるか．
(3)初めから$200$番目にある組を求めよ．
(4)初めから$n$番目の組が$(a,\ b)$であるとき，$c_n=ab$とおく．和$c_1+\cdots +c_{200}$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-2x}$に対し，$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$n$を自然数とし，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (n+k)^2$とする．$S_n$を$n$の式で表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^3}$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} \, dx$の値を求めよ．

$p$を定数とする．数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\[ a_1=b_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=p,\quad b_{n+1}-b_n=a_n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
により定義されている．次の問に答えよ．

(1)$a_n$を$n$と$p$の式で表せ．
(2)$b_n$を$n$と$p$の式で表せ．

(3)$\displaystyle \sum_{n=3}^{11} \frac{1}{b_n}=1$となるような$p$の値を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．

以下の値を求めよ．

(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+1)=[ネ]n^2+[ノ]n$
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{[ハ]n}{[ヒ]n+1}$
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k 2^{k-1}=\frac{1}{[フ]} \left( {[ヘ]}^n-1 \right)$

次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$k$に対して，
\[ \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2} \]
が成り立つように，定数$a,\ b,\ c$の値を決定せよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}$を求めよ．