$n$を自然数とする．

(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n(n+2)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{2n}$で定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$2n$項までの和$S_{2n}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n}$を求めよ．
(4)$\displaystyle S=\lim_{n \to \infty} S_{2n}$とおくとき，$|S_{2n|-S}<0.001$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

関数$f(x)=e^{-2x}$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ 0)$とする．次に$C$上の点$(x_1,\ f(x_1))$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}_2(x_2,\ 0)$とする．以下同様に$n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots$に対して$C$上の点$(x_{n-1},\ f(x_{n-1}))$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}_n(x_n,\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x_1$を求めよ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表せ．また$x_n$を$n$で表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n 3^k x_k$を求めよ．

自然対数の底を$e$とする．区間$x \geqq 0$上で定義される関数
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．

自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を

$\displaystyle a_n=(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)$a_1=\log 2-1$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{n+1}$を示せ．
(3)$\displaystyle a_n=\log 2-\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k+1}}{k} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(4)$x \geqq 0$のとき$\displaystyle \frac{1}{1+x} \leqq 1$であることを用いて，$\displaystyle |a_n| \leqq \frac{1}{n+1}$を示せ．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{{(-1)}^{k+1}}{k}$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は初項が$a_1=1$，公差が正の定数$d$の等差数列とする．このとき，自然数の定数$p$を用いて
\[ b_n=a_na_{n+p} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定まる数列$\{b_n\}$について考える．ただし，$a_na_{n+p}$は$a_n$と$a_{n+p}$の積を表す．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$が等差数列であることを示せ．さらに，数列$\{c_n\}$の初項$c_1$と公差$D$を$d,\ p$を用いて表せ．
(2)ある定数$C$を用いて
\[ \frac{1}{b_n}=C \left( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+p}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と表すことができる．このとき，$C$を$d,\ p$を用いて表せ．
以下の問いでは，数列$\{b_n\}$が初項から順に
\[ b_1=7,\quad b_2=40,\quad b_3=91,\ \cdots \]
となる場合を考える．
(3)定数$d,\ p$および数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(4)数列$\{b_n\}$に対して，
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

初項$a_1=0$と漸化式
\[ a_{n+1}=(1-r) r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．ただし，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を，$r$を用いてそれぞれ表せ．
(2)第$n$項$a_n$を推測して，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し，$r,\ n$を用いて表せ．