$f(x)=x^3$，$g(x)=x^3-4$とし，曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$の両方に接する直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C_1$との接点を$\mathrm{P}$，$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$\ell$と$C_1$とが$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=xe^x$と曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$C$上の点$(t,\ te^t)$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(3)$C$の接線で点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものを求めよ．

(4)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(5)$(3)$で求めた接線のうち，接点の$x$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きいものを$\ell$とするとき，$C$と$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，

(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．

(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，

(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．

(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．


(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，

(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．

(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．


(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，

(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．

(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．

$a$を正の実数，$b,\ c$を実数とする．$f(x)=ax^2+bx+c$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$0<\theta<\pi$とし，$t=\cos 2\theta$とおく．$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる．$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち，$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である．したがって，$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である．
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき，カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく．並べ方は全部で$[オ]$通りである．そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである．また，$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである．
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は，$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる．また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき，$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である．

\begin{mawarikomi}{68mm}{
（図は省略）
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある．点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ，すべらずに転がっている．円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする．

ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し，同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた．その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする．

\end{mawarikomi}

(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のように放物線
\[ C:y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
（$a,\ b$は定数）が$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-4x+5 \]
に接している．

ここで，$2$つの曲線が交点$\mathrm{P}$で接するとは，$\mathrm{P}$における接線が一致することを意味し，このとき，$\mathrm{P}$を接点という．
このとき，$C$と$C_1$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$][$46$]}$，$C$と$C_2$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$である．また，$3$つの放物線に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$51$][$52$]}{[$53$][$54$]}$である．

\end{mawarikomi}

$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1:y=e^x-2$
$C_2:y=\log x$

について以下の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．

(1)$s$を実数，$t$を正の数とする．$C_1$上の点$(s,\ e^s-2)$における$C_1$の接線の方程式，および$C_2$上の点$(t,\ \log t)$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$本存在する．それぞれの直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の$2$直線それぞれの$C_2$との接点の座標を求めよ．
(4)$(2)$の$2$直線の交点の$x$座標を求めよ．
(5)$C_2$と$(2)$の$2$直線で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+14x+13$について考える．

(1)$a,\ b,\ c$が$a<b<c$を満たす定数で，関数$y=f(x)$は$x=a$と$x=c$のとき極小値をとり，$x=b$のとき極大値をとる．このとき，$a^2+b^2+c^2=[ア][イ]$である．
(2)直線$y=2x+4$を$\ell$とし，直線$\ell$に平行な直線$y=2x+p$を$m$とする．ただし，$p$は定数である．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$は異なる$2$点で接している．さらに，曲線$y=f(x)$と直線$m$が異なる$3$個の共有点をもつとき，$p=[ウ][エ]$である．
また，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\alpha<\beta<\gamma$を満たす定数で，曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の異なる$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \gamma$とし，曲線$y=f(x)$と直線$m$の接点の$x$座標を$\beta$とする．直線$m$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と曲線$y=f(x)$，および直線$x=\alpha$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．

関数$f(x)=(x-k)^2$と$g(x)=-(x-2)^2+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(1)曲線$y=g(x)$について，傾きが$-2$である接線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
(2)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた範囲にある数とする．さらに，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq (x-k)^2 \\
y \leqq -(x-2)^2+4 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす領域を動くとき，$y+2x$の最大値が$9$となるような$k$の値の範囲を求めよ．