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西南学院大学 私立 西南学院大学 2016年 第5問
次の問いに答えよ.

\mon[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする.${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$,${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき,
\[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots ① \]
を以下の指示に従って,$2$通りの方法で証明せよ.

\mon[$(1)$] すべての実数$t$に対して,
\[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \]
が成り立つことを利用して$①$を証明せよ.また等号が成り立つときの条件を示せ.
\mon[$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \]
を考える.$①$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ.その上で,$①$を証明せよ.また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ.

\mon[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) (i=1,\ 2,\ 3)$を考える.変量$x$の平均を$\overline{x}$とし,$x$の偏差を$X$とする.すなわち,$X_i=x_i-\overline{x} (i=1,\ 2,\ 3)$であり,変量$y$についても同様とする.また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え,これを$r$とする.このとき,上記$①$を用いて,
\[ -1 \leqq r \leqq 1 \]
となることを示せ.
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