$2$つの箱$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$に，自然数が$1$つ記されたカードが何枚かずつ入っている．箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$からカードを$1$枚ずつ，合計$2$枚のカードを取り出す試行を行う．自然数$n$に対し，取り出された$2$枚のカードに記された自然数の和が$n$である確率を$P_n$とする．

(1)箱$\mathrm{A}$に数字$2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ，箱$\mathrm{B}$に数字$1,\ 2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入っているとき，$\displaystyle P_4=\frac{[ネ]}{[ノ]}$である．また，取り出された$2$枚のカードに記された$2$つの自然数の和の期待値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)箱$\mathrm{A}$にカードが$3$枚，箱$\mathrm{B}$にカードが$5$枚入っていて，
\[ P_2=\frac{1}{15},\quad P_3=\frac{1}{5},\quad P_4=\frac{1}{3},\quad P_5=\frac{2}{5} \]
が成立している．このとき，箱$\mathrm{B}$に入っているカードのうち，最も枚数が多いのは$[フ]$という数字が記されたカードであり，その枚数は$[ヘ]$枚である．

互いに平行ではない平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$について，ベクトルの和の結合法則
\[ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \]
が成立していることを，有向線分を用いた図で確かめよ．ただし，成分を用いてはならない．

（選択）行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
1 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \]
とする．次の問いに答えよ．

\mon[$(1)$] 行列$A$の表す$1$次変換が点$(2,\ 1)$を点$\mathrm{P}_1$に移すとする．$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
\mon[$(2)$] 次の等式が成立する実数$k,\ t$の組をすべて求めよ．
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
k \\
kt
\end{array} \right) \]
\mon[$(3)$] $A^2$を求めよ．
\mon[$(4)$] 行列$A^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の表す$1$次変換が点$(2,\ 1)$を点$\mathrm{P}_n$に移すとする．$\mathrm{P}_{2m-1} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の座標を求めよ．

（選択）$i=\sqrt{-1}$とし，$\overline{z}$は$z$の共役複素数を表すとする．次の問いに答えよ．

\mon[$(1)$] 複素数$z=2+i$に対して，複素数$z_1=(1+\sqrt{3}i) \overline{z}$の値を求めよ．
\mon[$(2)$] 実数$k$と複素数$z=1+ti$（$t$は実数）に対して，次の等式が成立する$k,\ t$の組をすべて求めよ．
\[ (1+\sqrt{3}i) \overline{z}=kz \]
\mon[$(3)$] 複素数$w_1$に対し，複素数$w_2,\ w_3$を
\[ w_2=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_1},\quad w_3=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_2} \]
によって定める．$w_3$を$w_1$を用いて表せ．
\mon[$(4)$] 上の$(1)$で求めた$z_1$に対して，複素数$z_n (n=2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ z_{n+1}=(1+\sqrt{3}i) \overline{z_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$z_{2m-1} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$m$を用いて表せ．

次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．

(1)不等式$|3x-5|<2x+1$を満たす$x$の値の範囲は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$t>0$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t+3,\ t-1)$と$\overrightarrow{b}=(-1,\ t)$が垂直であるとき，$t=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)白い玉が$3$個，赤い玉が$2$個入っている袋がある．袋から玉を$1$つ取り出し色を確かめ袋に戻す操作を$3$回行う．このとき，$2$回以上白い玉が出る確率は$[$(\mathrm{c])$}$である．

(4)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h+2}-e^2}{h}=[$(\mathrm{d])$}$である．

(5)$8$つの数の集まり$\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$を$2$組に分け，それぞれの組に属する数の和を考える．たとえば，
$\{-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 5\} \text{と} \{-2,\ 1,\ 3\}$
という組み分けについては，$10$と$2$である．このとき，
「どんな組み分けについても，少なくとも一方の和は$a$以上である」
という主張が成立するような数$a$のうち最大のものは$[$(\mathrm{e])$}$である．

(6)$\displaystyle \int_1^x \log t \, dt=[$(\mathrm{f])$}$であるので，$\displaystyle f(x)=\int_1^x (x-1) \log t \, dt$のとき，$f^\prime(x)=[$(\mathrm{g])$}$である．

以下の問に答えよ．

(1)$\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3},\ \sqrt[6]{6}$の大小関係について，以下の$1$～$6$の選択肢のうち，$[ツ]$が成立する．

\mon[$1$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$2$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$3$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$4$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}$
\mon[$5$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$6$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}$

(2)$a>b>1$のとき，$\displaystyle \log_a b-\log_b a=-\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ならば，$\displaystyle \log_a b+\log_b a=\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(3)$\displaystyle y=\log_8 (1+x^2)-\frac{1}{3} \log_2 x$は$x=[ナ]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$をとる．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．

逆行列をもつ$2$次の正方行列，$A_1,\ A_2,\ A_3,\ \cdots$が，関係式
\[ A_{n+1}A_n=A_n+2E \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．さらに$A_1+E$は逆行列をもつとする．ここで$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$A_n+E$は逆行列をもち，
\[ (A_{n+1}+E)^{-1}=\frac{1}{2}A_n(A_n+E)^{-1} \]
が成立することを示せ．
(2)$B_n=(2E-A_n)(A_n+E)^{-1}$により，行列$B_n$を定める．$B_{n+1}$と$B_n$との間に成立する関係式を求め，$B_n$を$B_1$と$n$を用いて表せ．

次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+3a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)以下が成立するように，実数$s,\ t (s>t)$を定めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+2}-sa_{n+1}=t(a_{n+1}-sa_n) \\
a_{n+2}-ta_{n+1}=s(a_{n+1}-ta_n)
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(2)一般項$a_n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)正の実数$a,\ b,\ c$について，不等式
\[ \frac{\log a}{a}+\frac{\log b}{b}+\frac{\log c}{c}<\log 4 \]
が成立することを示せ．ただし，$\log$は自然対数とし，必要なら$e>2.7$および$\log 2>0.6$を用いてもよい．
(2)自然数$a,\ b,\ c,\ d$の組で
\[ a^{bc} b^{ca} c^{ab}=d^{abc},\quad a \leqq b \leqq c,\quad d \geqq 3 \]
を満たすものをすべて求めよ．