整数$a,\ b,\ c$に対して，行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a+c-b
\end{array} \biggr)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)行列$Q=\biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
0 & u
\end{array} \biggr)$に対して，
\[ Q^3-Q=\biggl( \begin{array}{cc}
s(s^2-1) & t(s^2+u^2+su-1) \\
0 & u(u^2-1)
\end{array} \biggr) \]
となることを示せ．
(2)整数$x,\ y,\ z$に対して，行列$R=\biggl( \begin{array}{cc}
6x & y \\
0 & 6z
\end{array} \biggr)$をとる．このとき，行列$\displaystyle \frac{1}{6}R^2$の各成分が整数であることを示せ．
(3)$P=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array} \biggr)$とおくとき，$B=PAP^{-1}$を求めよ．さらに，行列$\displaystyle \frac{1}{6}(B^3-B)^2$の各成分が整数であることを示せ．
(4)行列$\displaystyle \frac{1}{6}(A^3-A)^2$の各成分が整数であることを示せ．

座標空間内に2点A$(0,\ 2,\ 1)$，B$(2,\ -1,\ 2)$があり，点P$(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が(2)の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形PABの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \text{PAB}$の大きさを求めよ．

直線$\ell:y=2x$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}=(a,\ b)$とし，点P$(x,\ y)$と直線$\ell$との距離を$h$とする．ただし，$|\overrightarrow{n}|=1$で，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．

以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．

\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．

(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．

(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．

(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．

(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]

(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．

実数を成分とする2次正方行列$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-1 & 3
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
b & 1 \\
0 & b
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
p & q
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$n$を正の整数とするとき，$B^n$を求めよ．
(2)$AP = PB$が成り立つように，$b,\ p,\ q$の値を求めよ．
(3)$n$を正の整数とするとき，$A^n$を求めよ．

2次の正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．

(1)$t$の2次方程式
\[ t^2-(a+d)t+ad-bc=0 \cdots\cdots \ (*) \]
が異なる2つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．
(2)$(*)$の大きい方の解を$t=\beta$と表す．実数$y$で，
\[ (A-\beta E) \biggl( \begin{array}{c}
b \\
y
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr) \]
をみたすものを求めなさい．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3)(2)で求めた$y$が正であることを示しなさい．

実数を成分に持つ行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \biggr)$とベクトル$P=\biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr),\ Q=\biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$b \neq 0$とする．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．
(2)次の3条件を満たす$\beta,\ z,\ w$を求めよ．
\[ AQ=\beta Q,\quad z^2+w^2=1,\quad z<w \]
(3)(1)と(2)で定められた$\alpha,\ \beta,\ x,\ y,\ z,\ w$を用いて，次式を計算せよ．
\[ \alpha \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
x & y
\end{array} ) +\beta \biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
z & w
\end{array} ) \]
(4)(3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は1以上の自然数とする．

行列$A$を$A=\biggl( \begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$とし，また，行列$B$を
\[ B=A+t \biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array} \biggr) \]
とする．ただし，$t$は0でない実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
1
\end{array} \biggr)=k_1 \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
1
\end{array} \biggr)$を満たす実数$k_1$および$x_1$の値を求めよ．
(2)$B \biggl( \begin{array}{c}
x_2 \\
1
\end{array} \biggr)=k_2 \biggl( \begin{array}{c}
x_2 \\
1
\end{array} \biggr)$を満たす実数$k_2$および$x_2$を$t$を用いて表せ．ただし，$k_2$は(1)で求めた$k_1$とは異なるものとする．
(3)$n$を自然数とする．(1)で求めた$x_1$と(2)で求めた$x_2$に対して，$B^n \biggl( \begin{array}{cc}
x_1 & x_2 \\
1 & 1
\end{array} \biggr)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(4)自然数$n$に対して，$B^n$の$(1,\ 1)$成分を$b_n(t)$とするとき，$\displaystyle \lim_{t \to 0}b_n(t)$を$n$を用いて表せ．

$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ．
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ．
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．

実数を成分とする行列$A =\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$が$A^2 -A+E = O$を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(1)$A$は逆行列をもつことを示せ．
(2)$a+d$と$ad-bc$を求めよ．
(3)$b>0,\ A^{-1}=\left(
\begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array}
\right)$のとき，$A$を求めよ．