$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -2)$，$\mathrm{B}(-1,\ -4,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ -4)$，$\mathrm{D}(2,\ 4,\ -4)$をとる．また，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1+t)$に外分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とおく．ただし，$t$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直であるとき，$t$の値を求めよ．
(3)実数$r,\ s$について$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=r \overrightarrow{\mathrm{DC}}+s \overrightarrow{\mathrm{DQ}}$が成り立つとする．このとき，$r,\ s,\ t$の値を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき，直線$\mathrm{DP}$と直線$\mathrm{CQ}$の交点の座標を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．

座標空間に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ -2)$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$\sin \theta+\cos \theta=k$とするとき$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}$を$k$を用いて表すと$[ア]$である．
(2)$2^{2016} \cdot 3^{2020}$は$[イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 0,\ -3)$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$[ウ]$となる．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の成分はそれぞれ$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$である．線分$\mathrm{AB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{BO}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<\cos \theta<\frac{1}{\sqrt{2}}$となる$t$の値の範囲は$\displaystyle 0<t<\frac{[ア]}{[イ]}$である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる．ただし，$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の成分で表せ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる．ただし，$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の成分で表せ．

座標平面上の$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{Q}_0(1,\ 3)$，$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( -\frac{1}{2},\ 3 \right)$に対して，点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$を以下で定める．
\[ \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{Q}_{n-1}},\quad \overrightarrow{\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}$の成分を求めよ．
(3)$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．

$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 4)$をとり，下図のように線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{OD}$を$3$辺とする立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．辺$\mathrm{DE}$，$\mathrm{BF}$の中点を，それぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする．$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{G}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ．
(4)三角錐$\mathrm{FGMN}$において，三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ．
(5)三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ．

$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）

(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）

(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．