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東京農工大学 国立 東京農工大学 2016年 第1問
$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -2)$,$\mathrm{B}(-1,\ -4,\ 0)$,$\mathrm{C}(2,\ 2,\ -4)$,$\mathrm{D}(2,\ 4,\ -4)$をとる.また,線分$\mathrm{AB}$を$t:(1+t)$に外分する点を$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とおく.ただし,$t$は正の実数とする.次の問いに答えよ.

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$t$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直であるとき,$t$の値を求めよ.
(3)実数$r,\ s$について$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=r \overrightarrow{\mathrm{DC}}+s \overrightarrow{\mathrm{DQ}}$が成り立つとする.このとき,$r,\ s,\ t$の値を求めよ.
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき,直線$\mathrm{DP}$と直線$\mathrm{CQ}$の交点の座標を求めよ.
(5)$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を$S(t)$とする.$S(t)$の最小値を求めよ.また,そのときの$t$の値を求めよ.
電気通信大学 国立 電気通信大学 2016年 第3問
座標空間に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ -1,\ 2)$,$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$,$\mathrm{C}(1,\ -1,\ -2)$をとる.線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし,原点$\mathrm{O}$を中心として$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る球面を$S$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ.
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす.線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ.
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき,四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2016年 第1問
次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ.

(1)$\sin \theta+\cos \theta=k$とするとき$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}$を$k$を用いて表すと$[ア]$である.
(2)$2^{2016} \cdot 3^{2020}$は$[イ]$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
(3)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 3)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ 0,\ -3)$の両方に垂直で,大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$[ウ]$となる.
東邦大学 私立 東邦大学 2016年 第11問
$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の成分はそれぞれ$(1,\ 0)$,$(0,\ 1)$である.線分$\mathrm{AB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{C}$,線分$\mathrm{BO}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする.ただし,$0<t<1$である.$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<\cos \theta<\frac{1}{\sqrt{2}}$となる$t$の値の範囲は$\displaystyle 0<t<\frac{[ア]}{[イ]}$である.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2016年 第3問
原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$,$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる.ただし,$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき,次の問いに答えよ.

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$の成分で表せ.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2016年 第3問
原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$,$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる.ただし,$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき,次の問いに答えよ.

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$の成分で表せ.
東京海洋大学 国立 東京海洋大学 2015年 第1問
座標平面上の$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$,$\mathrm{Q}_0(1,\ 3)$,$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( -\frac{1}{2},\ 3 \right)$に対して,点$\mathrm{P}_n$,$\mathrm{Q}_n$を以下で定める.
\[ \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{Q}_{n-1}},\quad \overrightarrow{\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき次の問に答えよ.

(1)$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{P}_2$の座標を求めよ.
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}$の成分を求めよ.
(3)$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して,$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(4,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 4,\ 0)$,$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 4)$をとり,下図のように線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OC}$,$\mathrm{OD}$を$3$辺とする立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える.辺$\mathrm{DE}$,$\mathrm{BF}$の中点を,それぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$とする.以下の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ.
(2)$\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする.$\cos \theta$の値を求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{G}$,$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ.
(4)三角錐$\mathrm{FGMN}$において,三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ.
(5)三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2015年 第2問
$t$を実数とする.座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$,$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある.図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において,点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき,$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする.また,平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする.
(図は省略)

(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で,その$z$成分が正となるものを求めよ.
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき,$t$のとり得る値の範囲を求めよ.
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき,$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2015年 第1問
$t$を実数とする.座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$,$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある.図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において,点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき,$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする.また,平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする.
(図は省略)

(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で,その$z$成分が正となるものを求めよ.
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき,$t$のとり得る値の範囲を求めよ.
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき,$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.
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