次の各問の解答を記入せよ．

(1)正の整数$a$に対して，ある整数$b$が存在して$63a-32b=1$を満たすとする．$a$はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする．このとき$ab$の値を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目すべての積が$4$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．$b_1$から$b_{2016}$までの$2016$個の整数のうち$3$の倍数であるものは全部で何個あるか．
(4)$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続な関数で$f(0)=0$，$f(1)=1$であり，$0 \leqq x_1<x_2 \leqq 1$であるすべての$x_1,\ x_2$に対して$f(x_1)<f(x_2)$を満たしているとする．$x=g(y)$を$0 \leqq y \leqq 1$で定義された$f$の逆関数とする．
\[ 5 \int_0^1 f(x) \, dx=2 \int_0^1 g(y) \, dy \]
が成立しているとき$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$はすべての項が整数であり，次の性質を満たしている．

「正の整数$n$の正の約数が$k$個あるとき，これらを$d_1,\ d_2,\ \cdots,\ d_k$とすると，
\[ a_{d_1}+a_{d_2}+\cdots +a_{d_k}=n \]
が成り立つ．」

(1)$a_5=[ツ]$，$a_6=[テ]$，$a_{49}=[ト]$である．
(2)$a_{5^{100}}=[ナ] \cdot 5^{99}$である．
(3)$p,\ q$を$p<q$を満たす$2$つの素数とする．$a_{pq}=pq-11$が成立するならば，$p=[ニ]$，$q=[ヌ]$である．

次の性質をもつ数列$\{a_n\}$を考える．
\[ \begin{array}{lll}
a_1=3 & & \\
a_{n+1}>a_n & \phantom{\frac{[　]}{2}} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
a_n^2-2a_na_{n+1}+a_{n+1}^2=3(a_n+a_{n+1}) & \phantom{\frac{[　]}{2}} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \]

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$a_n+a_{n+2}$を$a_{n+1}$を用いて表せ．
(2)$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$x>0$を実数とし，$\displaystyle f(x)=\left( \frac{10}{x} \right)^{45}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(2)$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$|\log_{10|x-0.3010}<0.01$となる実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数を求めよ．
(3)$d$を定数とする．$|\log_{10|x-0.3010}<d$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数が同じになる．このような性質を持つ定数$d$のとる値の範囲を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$3$を引いても$12$を足しても平方数となる自然数をすべて求めなさい．
(2)$3^n$を$5$で割ると$1$余るという性質を持つ最小の自然数$n$は何か答えなさい．
(3)$179x+767y=1$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めなさい．

$N$を$2$以上の自然数とし，$a_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を次の性質$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす数列とする．

(i) $a_1=2^N-3$
(ii) $n=1,\ 2,\ \cdots$に対して，

$a_n$が偶数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$，$a_n$が奇数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}$．

このときどのような自然数$M$に対しても
\[ \sum_{n=1}^M a_n \leqq 2^{N+1}-N-5 \]
が成り立つことを示せ．

自然数$a,\ b$に対して，$a = bq+r,\ 0 \leqq r \leqq b-1$を満たす整数$q,\ r$がただ1組存在する．このとき$q$は$a$を$b$で割った商，$r$は$a$を$b$で割った余りという．自然数$a_0,\ a_1$が与えられたとき，数列$\{a_n\},\ \{q_n\}$は次の性質を満たすものとする．

\mon[(i)] $q_n$は$a_{n-1}$を$a_n$で割った商
\mon[(ii)] $\biggl( \begin{array}{c}
a_n \\
a_{n+1}
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & -q_n
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c}
a_{n-1} \\
a_{n}
\end{array} \biggr)$

ただし，$a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在すれば，$n>N$に対して$q_n$および$a_{n+1}$は定義しない．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在することを証明せよ．
(2)$a_N=aa_0+ba_1$を満たす整数$a,\ b$が存在することを証明せよ．
(3)$a_N$は$a_0$と$a_1$の最大公約数であることを証明せよ．

実数全体で定義された関数$F(x)$が次の条件$①$と$②$の両方を満たすとき「$F(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つ」ということにする．

$①$ すべての実数$x$について$F(x)>0$である．
$②$ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす．


(1)$y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$，$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること，および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ．
(2)$y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする．$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ．
(3)$c$を実数とする．(2)のとき，関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ．ただし$①$を示すために
\[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \]
を利用してもよい．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は次の性質を満たすものとする．
\begin{itemize}
$a_1=3,\ b_1=2$
$a_{n+1}=6a_n-b_n,\ b_{n+1}=2a_n+3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
\end{itemize}
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$c_n=-a_n+b_n,\ d_n=2a_n-b_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{c_n\},\ \{d_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(2)(1)で定めた$c_n,\ d_n$を求めよ．
(3)$a_n,\ b_n$を求めよ．