$3$枚のカードに，$1$，$2$，$3$の各数字が書かれている．この$3$枚のカードから$1$枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業を$n$回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，$n$回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．

(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．

$3$枚のカードに，$1$，$2$，$3$の各数字が書かれている．この$3$枚のカードから$1$枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業を$n$回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，$n$回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．

(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$の分母を有理化せよ．
(2)方程式$4x^2-3x+k=0$の$2$つの解が$\sin \theta,\ \cos \theta$で与えられるとき，定数$k$の値を求めよ．
(3)関数$y=4^x-2^{x+2}+1$の$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(4)直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を実数で，$a \neq 0$とする．$\displaystyle c=\frac{2+3ai}{a-bi}$が純虚数のとき，$b$と$c$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} |x \cos \displaystyle\frac{x|{3}} \, dx$を求めよ．
(3)直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．
(4)座標平面上の曲線
\[ x=2 \cos \theta+1,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \]
で囲まれた図形を$x$軸の回りに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

$3$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$1$から$4$までの数字を$1$つずつ書いた$4$枚のカードがそれぞれの箱に入っている．箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から無作為に$1$枚ずつカードを引き，そこに書かれた数字を$a,\ b,\ c$とする．$p=a+b+c$とし，以下のルールで得点を定める．

(i) $a,\ b,\ c$すべてが同じ数字であるとき，得点を$3p$とする．
(ii) $a,\ b,\ c$の中に同じ数字が$2$つあり，残りが異なる数字であるとき，得点を$2p$とする．
(iii) $a,\ b,\ c$すべてが異なるとき，得点を$p$とする．

このとき，次の問いに答えなさい．

(1)得点が$7$である確率を求めなさい．
(2)得点が$10$以下である確率を求めなさい．
(3)得点の期待値を求めなさい．

Aは$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$と書かれた札を，Bは$2,\ 4,\ 6,\ 8$と書かれた札を手元に持ち，札の数字が書かれた面$(\text{表})$はふせられた状態である．両者は札をよくかき混ぜた後$n$枚の札を引き，表にして数字を比べる．ただし，$n=1$のときは数字の大きい方が勝ちで，両者の数字が等しいときは引き分けとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=1$とする．

(2)引き分けとなる確率を求めよ．
(3)勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり，その他の場合はそれぞれの得点が0となるとき，Aの得点の期待値を求めよ．

(4)$n=2$とする．Aの札の数字の合計と，Bの札の数字の合計が等しくなる確率を求めよ．
(5)$n=1$とする．数直線上にある点Pを，Aが勝ったときは正の方向に2だけ，Bが勝ったときは負の方向に1だけ動かす．ただし，引き分けのときは動かさない．こうした試行を4回繰り返すとき，最初に原点にあった点Pが4回の試行後に原点に位置する確率を求めよ．なお，AとBが引いた札は，試行が終わるごとに各々の手元に戻し，よくかき混ぜて次の試行を行うものとする．

$n$を自然数とする．$1$枚のコインを投げ続けて，裏が出た時点で終了するゲームを行う．ただし，$n$回続けて表が出たときもゲームは終了するものとする．このゲームで出た表の数を$p$とするとき，次のように得点を与える．

$p=0$ならば得点は$0$
$p \geqq 1$ならば得点は$3^p$である．

得点の期待値を求めよ．

袋の中に$4$枚のカードが入っており，それぞれのカードには$1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が書かれている．いま袋から$1$枚カードを取り出しては，そのつど袋に戻すという試行を何回か繰り返す．このとき，最後に取り出したカードに書かれた数が，得点になるものとする．以下の問に答えよ．

(1)試行が一度だけのとき，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(2)試行を二度行う権利を有するとき（試行を一度でやめても，二度目を行ってもよいとき），得点の期待値を最大にするには，$(1)$の結果より，一度目の数字$x$が$[ケ]$以下のときは二度目を行い，$x$が$[コ]$以上のときは一度でやめればよい．したがって，得点の期待値の最大値は$[サ]$となる．

以下の設問に答えよ．

(1)ゲーム$\mathrm{A}$を
\begin{itemize}
$5$枚の硬貨を同時に投げる．
表が出た硬貨が$3$枚以上ある場合は得点$1$，
それ以外の場合は得点$0$
\end{itemize}
とする．このゲーム$\mathrm{A}$を$3$回行うとき，合計得点が$2$以上になる確率を求めよ．
(2)ゲーム$\mathrm{B}$を
\begin{itemize}
$3$つのサイコロを同時に振る．
同じ目のサイコロが$2$つ以上ある場合は得点$1$，
それ以外の場合は得点$0$
\end{itemize}
とする．このゲーム$\mathrm{B}$を$3$回行うとき，合計得点が$2$以上になる確率を求めよ．

$\mathrm{C}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{O}$のいずれかの文字が書かれたカードがある．いま，$\mathrm{C}$が$1$枚，$\mathrm{H}$が$2$枚，$\mathrm{U}$が$4$枚，$\mathrm{O}$が$n$枚からなるカードの山をよく切り，山から同時に$3$枚のカードを抜き出す．ただし，$n \geqq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$3$枚とも同じ文字である確率，すべて異なる文字である確率をそれぞれ$n$の式で表せ．
(2)$3$枚とも同じ文字であれば得点を$2$点得，すべて異なる文字であれば得点を$1$点失い，その他の場合は得点に変化がないというゲームがある．このゲームで得る得点の期待値が$0$点以下となるような$n$の値の範囲を求めよ．