次の問いに答えよ．
(1) $a,\ b$を実数で，$a \neq 0$とする．$\displaystyle c=\frac{2+3ai}{a-bi}$が純虚数のとき，$b$と$c$の値を求めよ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} |x \cos \displaystyle\frac{x|{3}} \, dx$を求めよ．
(3) 直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．
(4) 座標平面上の曲線 \[ x=2 \cos \theta+1,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \] で囲まれた図形を$x$軸の回りに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．