次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)関数$y=|x^2-2x|$のグラフと直線$y=x-1$の共有点の$x$座標は$[ウ]$と$[エ]$である．ただし，$[ウ]<[エ]$とする．
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，$2$個の目がともに$5$となる確率は$[オ]$であり，少なくとも$1$個の目が$5$以上である確率は$[カ]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$\displaystyle \int_0^2 (6x^2-2ax-a^2) \, dx \geqq 0$となるための必要十分条件は$[キ] \leqq a \leqq [ク]$である．

$2$つの関数$f(x)=\log (a-4x)$，$g(x)=\log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数であり，$a>4$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{B}$における接線と，曲線$y=g(x)$の点$\mathrm{B}$における接線が直交するとき，$a$の値を求めよ．
(4)$a$を$(3)$で求めた値とするとき，$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を通り，曲線$y=2+2 \log x$に接する直線を$\ell$とし，その接点を$\mathrm{A}$とする．また，この曲線と直線$\ell$，および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)この曲線と$x$軸との交点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ア]}{e}$である．
(2)接点$\mathrm{A}$の座標は$([イ],\ [ウ])$である．
(3)図形$D$の面積は$\displaystyle [エ]-\frac{[オ]}{e}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[カ]([キ]-e)}{[ク]e} \pi$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+x-2 \leqq 0 \displaystyle \phantom{\frac{1}{[　]}} \\
\displaystyle\frac{x-6}{7}>\frac{x-4}{5}
\end{array} \right. \]
を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 6)$に対して，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は$[　]$である．
(3)$(x+2y)^6$の展開式における$x^2y^4$の係数は$[　]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$x$の方程式$(\log_2 x)^2+(a+1) \log_2 x+1=0$が異なる$2$つの実数の解をもつような$a$の値の範囲は$[　]$である．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=4$，$\angle \mathrm{AOB}={15}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[　]$である．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$がある．直線$\ell$は辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}(0,\ t) (0 \leqq t \leqq 2)$を通り，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$2$等分しているとする．直線$\ell$と$\triangle \mathrm{OAB}$の辺の$2$つの交点のうち，点$\mathrm{P}$でない方の点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq t \leqq 1$のとき，点$\mathrm{R}$の座標$(x,\ y)$を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$のとき，$x$のとる値の範囲を求めよ．また，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$1 \leqq t \leqq 2$のとき，点$\mathrm{R}$の座標$(x,\ y)$を$t$を用いて表せ．
(4)$(3)$のとき，$x$のとる値の範囲を求めよ．また，$y$を$x$の式で表せ．
(5)$(2)$で求めた$x$の式を$f(x)$，$(4)$で求めた$x$の式を$g(x)$とする．$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，次の極方程式で表される$2$つの曲線を考える．
\[ r=f(\theta)=3 \cos \theta,\quad r=g(\theta)=1+\cos \theta \]
ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．また，極座標が$(f(\theta),\ \theta)$，$(g(\theta),\ \theta)$である点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$は，中心が直交座標で$\displaystyle \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウ] \right)$であり，半径が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である円の周上を動く．
(2)点$\mathrm{P}(f(\theta),\ \theta)$と点$\mathrm{Q}(g(\theta),\ \theta)$の間の距離は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[カ]}$および$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}\pi$のとき最小値$[ケ]$をとり，$\theta=[コ]$のとき最大値$[サ]$をとる．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点が原点$\mathrm{O}$となるとき，点$\mathrm{P}$の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[スセ]},\ \pm \frac{[ソ] \sqrt{[タチ]}}{[ツテ]} \right)$である．

点$\mathrm{A}(0,\ -1)$とする．放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と$x$軸との共有点を$\mathrm{M}(m,\ 0)$とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{P}$の対応点と呼ぶことにする．

(1)$m$を$a$で表すと$m=[$1$]$である．
(2)$m$の値のとり得る範囲は$[$2$]$である．
(3)$a \neq [$3$]$のとき，$\mathrm{P}(a,\ a^2)$と同じ対応点をもつ$\mathrm{P}$と異なる放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{Q}$が存在し，$\mathrm{Q}$の座標は$[$4$]$である．

次の$[　]$に答えを記入せよ．

(1)$2$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が整数になる確率は$[ア]$である．また，$3$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が$1$になる確率は$[イ]$である．
(2)座標平面で直線$y=3x$についての対称移動を$f$，原点を中心とした${60}^\circ$の回転移動を$g$とする．点$\mathrm{P}(2,\ -1)$の$f$による像を点$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$の$g$による像を点$\mathrm{R}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ウ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[エ]$である．

$a,\ b$は定数で$a>0$とする．関数$f(x)=x^2-2ax+a^2+2a+b$について，次の各問に答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最小値が$0$であるとき，$a$を用いて$b$を表せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最小値が$0$，最大値が$3$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．

$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$，$\mathrm{C}(3,\ 2)$，$\mathrm{D}(a,\ b)$を頂点とする平行四辺形の周を$P$とする．ただし，$\mathrm{AB} \para\, \mathrm{DC}$，$\mathrm{AD} \para\, \mathrm{BC}$とする．

(1)$\mathrm{D}$の座標$(a,\ b)$を求め，$P$を図示せよ．
(2)放物線$y=x^2+k$が$P$と共有点を持つような定数$k$の値の範囲を求めよ．