次の問に答えよ．

(1)関数$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$のグラフ$C_1$は，$y=\log_2 (x+1)$のグラフ$C_2$を原点について対称移動し，$x$軸方向に$[ソ]$だけ平行移動したものであり，$C_1$と$C_2$の交点の座標は
\[ \left( [タ] \pm \sqrt{[チ]},\ \log_2 \left( [ツ] \pm \sqrt{[テ]} \right) \right) \quad \text{（複号同順）} \]
である．また，関数$y=\log_2 (x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$は$x=[ト]$のとき，最大値$[ナ]$をとる．
(2)赤球$3$個，青球$2$個，白球$1$個の計$6$個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部で$[ニヌ]$通りある．

曲線$C:y=x^3-12x$とその上の点$\mathrm{A}(1,\ -11)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ．
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき，その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする．曲線と直線の囲む部分の左側，右側の面積をそれぞれ$S$，$S^\prime$とするとき，
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい．このとき，直線$\ell$を求めよ．ここで，$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき，$S=S^\prime$となることに注意せよ．

$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
ax & (x \leqq 1) \\
(4-a)x+2(a-2) & (1<x) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定義する．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす実数である．

(1)$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$の共有点の個数は$[ロ]$である．このうち，$a$の値によらない共有点の座標は，$([ワ],\ [ヲ])$，$([ン],\ [あ])$である．ただし，$[ワ]<[ン]$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積の総和を$S(a)$とすると，
\[ S(a)=\frac{[い]}{[う]}a^3-a+\frac{[え]}{[お]} \]
である．
(3)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{\sqrt{[か]}}{[き]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[く]-\sqrt{[け]}}{[こ]}$をとる．

曲線$y=\sin x \cos^3 x+x$上の$2$点$(0,\ 0)$，$\displaystyle \left( \frac{5}{4} \pi,\ \frac{5 \pi+1}{4} \right)$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は，


$\ell_1:y=[ア]x,$

$\displaystyle \ell_2:y=\frac{1}{[イ]}x+\frac{1}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \pi$


であり，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標は，
\[ \left( \frac{[カ] \pi+[キ]}{[クケ]},\ \frac{[コ] \pi+[サ]}{[シ]} \right) \]
である．

点$\mathrm{A}(-1,\ -3)$から円$x^2+y^2=5$に接線を引くと，接点の座標は$(-[セ],\ -[ソ])$と$([タ],\ -[チ])$である．また，$2$本の接線と円で囲まれた部分（ただし，円の内部を含まない）の面積は，$\displaystyle [ツ]-\frac{[テ]}{[ト]} \pi$である．

次の各問に答えよ．

(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 2)$を考える．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(5)$3$次方程式$x^3+x^2-2x+1=0$の$3$つの解を$a_1,\ a_2,\ a_3$とするとき，${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2$の値を求めよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{P}$が単位円周上の$y \geqq 0$の部分を動くとき，点$\mathrm{P}$から単位円周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$までの距離の和$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$を$L$とする．以下，$L$の最大値を求める．点$\mathrm{P}$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$とおき，$L$を$\theta$の式で表すと，


$\displaystyle L=\sqrt{(\cos \theta-[ア])^2+\sin^2 \theta}+\sqrt{(\cos \theta+[イ])^2+\sin^2 \theta}$

$\displaystyle +\sqrt{\left( \cos \theta-\frac{1}{[ウ]} \right)^2+\left( \sin \theta-\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \right)^2}$


と表される．整理すると，たとえば，点$\mathrm{P}$が第$2$象限にあるとき，
\[ L=\left( [カ]+\sqrt{[キ]} \right) \sin \frac{\theta}{[ク]}+\cos \frac{\theta}{[ケ]} \]
となり，適当な実数$\alpha$を用いて
\[ L=\sqrt{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}} \sin \left( \frac{\theta}{[ス]}+\alpha \right) \]
と表すことができる．よって，$L$の最大値は，$\sqrt{[セ]}+\sqrt{[ソ]}$である．ただし，$[セ]>[ソ]$とする．

次の空所を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．

$a$を定数として，$2$次関数$y=x^2+3ax+6-2a$とそのグラフを考える．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$a=1$のとき，この関数のグラフの頂点の座標は$\displaystyle \left( -\displaystyle\frac{[$16$]}{[$17$]},\ \displaystyle\frac{[$18$]}{[$19$]} \right)$である．
(2)この関数のグラフが$x$軸と接するとき，$\displaystyle a=\frac{-[$20$] \pm [$21$] \sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$である．
(3)$x=-2$のとき，この関数は最小値をとる．このとき，$\displaystyle a=\frac{[$24$]}{[$25$]}$，最小値は$\displaystyle -\frac{[$26$]}{[$27$]}$である．
(4)この関数の最小値が$-7$であるとき，$a=[$28$]$または$\displaystyle a=-\frac{[$29$]}{[$30$]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき，$x^2+y^2-xy=[アイ]$である．

(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である．
(3)$k$を定数とする．$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$\beta-\alpha=2$とする．このとき，$k=[キ]$であり，$\alpha=[クケ]$，$\beta=[コサ]$である．
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$，$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]<x$である．
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち，$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$，$y=[エオ]$である．
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である．また，直線$2x-y-1=0$に関して，点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である．
(7)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$，最小値が$-2$であるとき，$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である．