$2$つの関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$，$g(x)=-x^2+cx+3$について，曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$は点$(1,\ 0)$で同じ接線をもつとする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$a=[アイ]$，$b=[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の点$(1,\ 0)$以外の共有点の座標は$([カ],\ [キクケ])$である．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

平面上の放物線$y=f(x)$が$2$点$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$を通る．

(1)$f(x)=ax^2+bx+c$とするとき，係数$a,\ b,\ c$が満たす条件を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$が区間$0<x<1$で$x$軸と交差する．このときの$x$座標を$f(x)$の式とともに求めよ．
(3)$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形が$2$つの部分からなり，それぞれの面積が互いに等しいという．$f(x)$を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)実数$\alpha,\ \beta$は，$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha+\sin \beta=0 \\
\cos \alpha+\cos \beta=1
\end{array} \right.$を満たしている．$\cos (\alpha-\beta)$を求めなさい．

(2)次の不等式が表す領域を座標平面上に図示しなさい．
\[ (4x^2+9y^2-36)(4x^2-27y)>0 \]
(3)$2$つのさいころを同時に投げる．出る目の数の積を$n$とし，直線$3x+5y=n$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$(a,\ 0)$，$(0,\ b)$とする．$a$と$b$がどちらも自然数となる確率を求めなさい．

空間において，方程式$x^2+y^2+z^2-2x-8y-4z-28=0$で表される曲面を$C$とする．このとき，$C$は中心$([ウ],\ [エ],\ [オ])$，半径$[カ]$の球面である．また，$C$上の点$(-5,\ 6,\ 5)$で接する平面と$z$軸との交点の座標は$(0,\ 0,\ [キク])$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$\mathrm{P}(3,\ 1)$を通る直線が円$x^2+y^2=1$上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．ただし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はそれぞれ第$1$象限，第$2$象限内の点である．$\mathrm{PA}=\sqrt{5}$のとき，$\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の成分はそれぞれ$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$である．線分$\mathrm{AB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{BO}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<\cos \theta<\frac{1}{\sqrt{2}}$となる$t$の値の範囲は$\displaystyle 0<t<\frac{[ア]}{[イ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)任意の正の数$t$に対して，座標平面上の$3$点$\mathrm{P}_t(3-t,\ 6+2t)$，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 6)$を頂点とする三角形$\mathrm{P}_t \mathrm{OA}$を考える．$\angle \mathrm{P}_t \mathrm{OA}=\theta_t$とすれば，
\[ \lim_{t \to \infty} \cos \theta_t=\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$a$を正の定数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2+ax+4a=0$の$1$つの解が他の解の$4$倍であるとき，
\[ a=[ウエ] \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が条件
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1 \quad \text{かつ} \quad |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=\frac{25}{44} \]
をみたすとする．ベクトル$\overrightarrow{c}$が正の数$t$を用いて
\[ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
と表され，かつ$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{5}$であるならば
\[ t=\frac{[アイ]}{[ウ]} \]
である．
(2)座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{4}{5}x^2$と円$C_2:x^2+(y-a)^2=a^2$（$a$は正の定数）が$3$つの共有点をもつような$a$の値の範囲は
\[ a>\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{1-x+x^2}$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形を$F$とする．

(1)図形$F$の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]} \pi \]
である．
(2)図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[エ] \sqrt{[オ]}}{[カキ]} \pi^2+\frac{[ク]}{[ケ]} \pi \]
である．

$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 4,\ -1)$を通る平面$\alpha$に対して，以下の問に答えよ．

(1)平面$\alpha$の方程式を$ax+by+cz=6$としたとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ヒ]},\ \frac{[フ]}{[ヘ]} \right) \]
である．
(3)平面$\alpha$上に点$\mathrm{A}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の円$\beta$を考える．点$\mathrm{P}$が円$\beta$上を動くとき，$\mathrm{OP}$の最小値は$\sqrt{[ホマ]}$である．