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私立 津田塾大学 2016年 第3問$a$を正の定数とし，放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$における接線を$\ell_1$とする．ただし，$t>0$である．
(1)$\ell_1$と$x$軸との交点を通り$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_2$は$\mathrm{P}$によらない定点を通ることを示せ．
(2)$x$軸に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_3$とする．$\ell_3$と$C$の$2$つの交点のうち$x$座標が大きい方を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$C$と直線$\mathrm{QR}$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$\ell_1$と$x$軸との交点を通り$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_2$は$\mathrm{P}$によらない定点を通ることを示せ．
(2)$x$軸に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_3$とする．$\ell_3$と$C$の$2$つの交点のうち$x$座標が大きい方を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$C$と直線$\mathrm{QR}$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第3問実数$c$を$\displaystyle c<\frac{3}{2}$とし，$f(x)=(x-4)(x^2-3x-c^2+3c)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸が異なる$3$点で交わり，それら$3$つの交点の$x$座標がすべて正となるときの$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等差数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等比数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(4)$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_2$とする．曲線$C_1,\ C_2$と，$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸が異なる$3$点で交わり，それら$3$つの交点の$x$座標がすべて正となるときの$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等差数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等比数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(4)$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_2$とする．曲線$C_1,\ C_2$と，$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$x,\ y$を実数とするとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$[ア]$であり，最大値は$[イ]$である．
(2)$2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは，$x=[ウ]$，$y=[エ]$のときである．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は，$x=[オ]$において最大値$[カ]$をとる．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$の座標は$[キ]$である．また，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．
(5)袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている．この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である．このとき，袋の中の白玉は$[ケ]$個である．また，取り出した玉を元に戻し，この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$[コ]$である．
(1)$x,\ y$を実数とするとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$[ア]$であり，最大値は$[イ]$である．
(2)$2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは，$x=[ウ]$，$y=[エ]$のときである．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は，$x=[オ]$において最大値$[カ]$をとる．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$の座標は$[キ]$である．また，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．
(5)袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている．この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である．このとき，袋の中の白玉は$[ケ]$個である．また，取り出した玉を元に戻し，この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$[コ]$である．
私立 津田塾大学 2016年 第4問\begin{mawarikomi}{68mm}{
（図は省略）
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある．点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ，すべらずに転がっている．円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする．
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し，同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた．その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする．
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ．
（図は省略）
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある．点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ，すべらずに転がっている．円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする．
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し，同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた．その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする．
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また設問$(3)$に答えなさい．
時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．
(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．
(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．
(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．
このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．
(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．
このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．
時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．
(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．
(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．
(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．
このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．
(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．
このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．
私立 青山学院大学 2016年 第5問関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフにおいて，$y$座標の値が最大となる点を$\mathrm{A}$，変曲点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{B}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求め，関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および関数$y=xe^{-x}$のグラフの点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
(3)$S_1$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積$S_2$の大小を比較せよ．
(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求め，関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および関数$y=xe^{-x}$のグラフの点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
(3)$S_1$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積$S_2$の大小を比較せよ．
私立 青山学院大学 2016年 第3問$xyz$空間に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{P}$は以下の条件を満たすとする．
(i) $\mathrm{AP}=2$．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標は$1$．
(iii) 線分$\mathrm{AP}$は$xy$平面と交わる．ただし，点$\mathrm{P}$が$xy$平面上にあるときは，線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面は点$\mathrm{P}$で交わるものとする．
このとき線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$z$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$の座標を$(u,\ v,\ 0)$とするとき，$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，点$(u,\ v)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
(i) $\mathrm{AP}=2$．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標は$1$．
(iii) 線分$\mathrm{AP}$は$xy$平面と交わる．ただし，点$\mathrm{P}$が$xy$平面上にあるときは，線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面は点$\mathrm{P}$で交わるものとする．
このとき線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$z$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$の座標を$(u,\ v,\ 0)$とするとき，$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，点$(u,\ v)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2016年 第5問放物線$y=x^2-2x+a$と直線$y=bx+5$の交点の$1$つが$(3,\ 2)$のとき，次の設問に答えよ．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)もう$1$つの交点の座標を求めよ．
(3)放物線と直線で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)もう$1$つの交点の座標を求めよ．
(3)放物線と直線で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2016年 第5問放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+2x+9$について，次の設問に答えよ．
(1)頂点および$x$軸，$y$軸との交点の座標を求め，放物線の概形を描け．
(2)第$1$象限の放物線と$x$軸，$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)頂点および$x$軸，$y$軸との交点の座標を求め，放物線の概形を描け．
(2)第$1$象限の放物線と$x$軸，$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$，半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が，放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で，直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している（直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする）．ここで$2$つの曲線が接するとは，交点における接線が一致することを意味する．このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり，$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である．
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり，$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である．