「座標」について
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国立 茨城大学 2012年 第4問点$\mathrm{O}$を座標平面の原点とする．$a,\ b$を正の実数とする．放物線$C_1:y=ax^2$と放物線$\displaystyle C_2:y=-(x-b)^2+\frac{5}{16}$は，共に，点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$において直線$\ell$に接しているとする．直線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{R}(x_0,\ 0)$とする．次の各問に答えよ．
(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{OQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$とする．$x$軸と$C_1$と$x \leqq x_0$の部分の$C_2$とで囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{OQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$とする．$x$軸と$C_1$と$x \leqq x_0$の部分の$C_2$とで囲まれる図形の面積を求めよ．
私立 早稲田大学 2012年 第1問数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は原点を出発して，さいころを$1$回投げるごとに，$2$以下の目が出たときには正の向きに$1$だけ進み，$3$以上の目が出たときには負の向きに$2$だけ進むものとする．
(1)さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にくる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．ただし，[イ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$-4$または$2$になる確率は$\displaystyle\frac{[ウ]}{[エ]}$である．ただし，[エ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(1)さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にくる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．ただし，[イ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$-4$または$2$になる確率は$\displaystyle\frac{[ウ]}{[エ]}$である．ただし，[エ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2012年 第3問曲線$x^2+y^2=100$（$x \geqq 0$かつ$y \geqq 0$）を$C$とする．点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$は$C$上にあり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致するときは，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{P}$に等しいものとする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 8)$であり，点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は，
\[ (x-[キ])^2+(y-[ク])^2=[ケ],\ [コ] \leqq x \leqq [サ],\ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$C$上を自由に動くとき，点$\mathrm{R}$の動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]}\pi + [タ] \]
である．ただし，$[ソ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
(1)点$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 8)$であり，点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は，
\[ (x-[キ])^2+(y-[ク])^2=[ケ],\ [コ] \leqq x \leqq [サ],\ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$C$上を自由に動くとき，点$\mathrm{R}$の動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]}\pi + [タ] \]
である．ただし，$[ソ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2012年 第2問座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1)$がある．実数$a$に対して$4$点$\mathrm{P}(a+1,\ a)$，$\mathrm{Q}(a,\ a+1)$，$\mathrm{R}(a-1,\ a)$，$\mathrm{S}(a,\ a-1)$をとる．このとき，次の設問に答えよ．
(1)長方形$\mathrm{OABC}$と正方形$\mathrm{PQRS}$が共有点を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)長方形$\mathrm{OABC}$と正方形$\mathrm{PQRS}$の共通部分の面積が最大となる$a$の値と，そのときの共通部分の面積を求めよ．
(1)長方形$\mathrm{OABC}$と正方形$\mathrm{PQRS}$が共有点を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)長方形$\mathrm{OABC}$と正方形$\mathrm{PQRS}$の共通部分の面積が最大となる$a$の値と，そのときの共通部分の面積を求めよ．
私立 早稲田大学 2012年 第1問$k$を正の定数とする．$2$つの放物線
\[ \begin{array}{ll}
y=x^2 & \cdots\cdots① \\
y=x^2+k & \cdots\cdots②
\end{array} \]
を考える．次の問に答えよ．
(1)放物線$②$上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．
(2)放物線$①$と接線$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)放物線$①$と接線$\ell$で囲まれた領域$A$の面積を求めよ．
(4)不等式$x \geqq p$の表す領域と領域$A$の共通部分の面積を求めよ．
\[ \begin{array}{ll}
y=x^2 & \cdots\cdots① \\
y=x^2+k & \cdots\cdots②
\end{array} \]
を考える．次の問に答えよ．
(1)放物線$②$上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．
(2)放物線$①$と接線$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)放物線$①$と接線$\ell$で囲まれた領域$A$の面積を求めよ．
(4)不等式$x \geqq p$の表す領域と領域$A$の共通部分の面積を求めよ．
私立 早稲田大学 2012年 第1問数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は原点を出発して，さいころを$1$回投げるごとに，$2$以下の目が出たときには正の向きに$1$だけ進み，$3$以上の目が出たときには負の向きに$2$だけ進むものとする．
(1)さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にくる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．ただし，[イ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$-4$または$2$になる確率は$\displaystyle\frac{[ウ]}{[エ]}$である．ただし，[エ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(1)さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にくる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．ただし，[イ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$-4$または$2$になる確率は$\displaystyle\frac{[ウ]}{[エ]}$である．ただし，[エ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2012年 第3問曲線$x^2+y^2=100\ (x \geqq 0 \text{かつ} y \geqq 0)$を$C$とする．点P，Qは$C$上にあり，線分PQの中点をRとする．ただし，点Pと点Qが一致するときは，点Rは点Pに等しいものとする．
(1)点Pの座標が$(6,\ 8)$であり，点Qが$C$上を動くとき，点Rの軌跡は，
\[ \left( x-[キ]\right)^2 + \left(y-[ク]\right)^2 = [ケ],\]
\[ [コ] \leqq x \leqq [サ], \ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点P，Qが$C$上を自由に動くとき，点Rの動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]} \pi + [タ] \]
である．ただし，[ソ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(1)点Pの座標が$(6,\ 8)$であり，点Qが$C$上を動くとき，点Rの軌跡は，
\[ \left( x-[キ]\right)^2 + \left(y-[ク]\right)^2 = [ケ],\]
\[ [コ] \leqq x \leqq [サ], \ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点P，Qが$C$上を自由に動くとき，点Rの動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]} \pi + [タ] \]
である．ただし，[ソ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2012年 第4問関数
\[ f(x) = \log(1+\sqrt{1-x^2}) - \sqrt{1-x^2} - \log x \quad (0<x<1) \]
について，つぎの問に答えよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(3)曲線$y=f(x)$上を動く点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$は，曲線$y=f(x)$の$\mathrm{P}$における接線上にあり，$\mathrm{P}$との距離が$1$で，その$x$座標が$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
\[ f(x) = \log(1+\sqrt{1-x^2}) - \sqrt{1-x^2} - \log x \quad (0<x<1) \]
について，つぎの問に答えよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(3)曲線$y=f(x)$上を動く点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$は，曲線$y=f(x)$の$\mathrm{P}$における接線上にあり，$\mathrm{P}$との距離が$1$で，その$x$座標が$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問円$x^2+(y-1)^2=1$と外接し，$x$軸と接する円で中心の$x$座標が正であるものを条件Pを満たす円ということにする．
(1)条件Pを満たす円の中心は，曲線$y=[カ]\ (x>0)$の上にある．また，条件Pを満たす半径9の円を$C_1$とし，その中心の$x$座標を$a_1$とすると，$a_1=[キ]$である．
(2)条件Pを満たし円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．また，$n=3,\ 4,\ 5,\cdots$に対し，条件Pを満たし，円$C_{n-1}$に外接し，かつ円$C_{n-2}$と異なる円を$C_n$とする．円$C_n$の中心の$x$座標を$a_n$とするとき，自然数$n$に対し$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表しなさい．求める過程も書きなさい．
(3)(1),\ (2)で定めた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．求める過程も書きなさい．
(1)条件Pを満たす円の中心は，曲線$y=[カ]\ (x>0)$の上にある．また，条件Pを満たす半径9の円を$C_1$とし，その中心の$x$座標を$a_1$とすると，$a_1=[キ]$である．
(2)条件Pを満たし円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．また，$n=3,\ 4,\ 5,\cdots$に対し，条件Pを満たし，円$C_{n-1}$に外接し，かつ円$C_{n-2}$と異なる円を$C_n$とする．円$C_n$の中心の$x$座標を$a_n$とするとき，自然数$n$に対し$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表しなさい．求める過程も書きなさい．
(3)(1),\ (2)で定めた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．求める過程も書きなさい．
私立 早稲田大学 2012年 第3問実数係数の$x$の多項式で表された関数$f(x)$は，導関数$f^{\prime}(x)$がすべての実数$x$に対して
$f^\prime (x)>0$をみたし，かつ，$f^\prime (x)$は極大値をもつとする．実数$s$に対して，点$(s,\ f(s))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$s$の関数として$g(s)$と表す．
(1)導関数$g^\prime(s)$を求めよ．
(2)関数$g(s)$は極大値と極小値をもつことを示せ．
$f^\prime (x)>0$をみたし，かつ，$f^\prime (x)$は極大値をもつとする．実数$s$に対して，点$(s,\ f(s))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$s$の関数として$g(s)$と表す．
(1)導関数$g^\prime(s)$を求めよ．
(2)関数$g(s)$は極大値と極小値をもつことを示せ．