座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$と曲線$C:y=x \sqrt{x}$を考える（ただし$x \geqq 0$とする）．曲線$C$上の点のうち，点$\mathrm{A}$までの距離が最小となるような点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_1$とする．また，曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$の値を求めよ．

$1$から$4$の数字が$1$つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に$4$回投げ，底面に書かれてある数字をサイコロを投げた順番に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とする．そして，座標平面上の$2$点を$\mathrm{P}_1(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{P}_2(-a_3,\ a_4)$とする．また，原点を$\mathrm{O}$と表す．

(1)点$\mathrm{P}_1$が直線$y=2x$上にあり，かつ点$\mathrm{P}_2$が直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$上にある確率を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が直角となる確率を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が鋭角となる確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+c (a \neq 0)$のグラフ$C$は，頂点が$(3,\ s)$で，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 5)$，$\mathrm{B}(5,\ -1)$を通る．このとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)グラフ$C$上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とするとき，$2$本の接線が交わる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)グラフ$C$と接線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

不等式に関する以下の問に答えよ．

(1)座標平面上で，不等式$x^2+6x+y^2+2y+6 \leqq 0$と$y \geqq -2x-3$の両方を満たす点$(x,\ y)$の存在する領域を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が$(1)$の領域を動くとき，$x$と$y$は不等式$x^2+y^2 \leqq 4$を満たすことを証明せよ．

$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする．$1$次変換とは，座標平面上の任意の点$(x,\ y)$を同じ平面上の点$(X,\ Y)$に移す変換で，その変換の規則が$\left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$と表せるものである．このとき，行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$を$1$次変換を表す行列という．次の変換が，$1$次変換であるならばその$1$次変換を表す行列を求め，$1$次変換でないならばその理由を述べよ．

(1)座標平面上の任意の点をそれ自身に移す変換
(2)座標平面上の任意の点を直線$y=-x$に関して対称な点に移す変換
(3)座標平面上の任意の点を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$4$だけ移動する変換

座標平面上において，原点を中心とする半径$1$の円に，放物線$\displaystyle C:y=-\frac{p}{2}x^2+q (p>0,\ q>0)$が異なる$2$点で接しているとする．以下の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$の満たす関係式および$p,\ q$の取りうる範囲を求めよ．
(2)$x$軸と$C$で囲まれた図形（ただし，$y \geqq 0$）の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(1)$の条件の下で$p$が動くとき，$S$の最小値を求めよ．

曲線$C:y=|x(x-2)|$と直線$\ell:y=kx$（$k$は定数）が原点$\mathrm{O}$以外に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．ただし，点$\mathrm{B}$の$x$座標は点$\mathrm{A}$の$x$座標よりも大きいとする．また，点$\mathrm{B}$を通り，点$\mathrm{B}$とも原点$\mathrm{O}$とも異なる点$\mathrm{E}$において曲線$C$と接する直線を$m$とする．以下の問いに答えよ．

(1)定数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)直線$m$と$y$軸との交点を$\mathrm{F}$とする．三角形$\mathrm{FOE}$は曲線$C$によって二つの図形に分割されている．それらの二つの図形の面積の比を求めよ．
(3)$k=1$のとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について，$x=4(1-2 \sin^2 \theta)$，$y=8 \sin \theta \cos \theta$とし，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円$C$を考える．以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\theta=0$の場合，原点$\mathrm{O}$から円$C$に$2$本の接線を引いたとき，この$2$本の接線のなす角を$\alpha$とする．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このときの$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}$と$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を$\sin 2\theta$または$\cos 2\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が$(3)$で求められた軌跡をたどったとき，円$C$が通過してできた図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，$f(x)=ae^{-ax}$とする．ただし，$e$を自然対数の底とする．原点を$\mathrm{O}$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$における接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)接線$\ell$の方程式と$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における接線と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)$s$の値が$s \geqq 0$の範囲で変化するとき，三角形$\mathrm{ROQ}$の面積$T(s)$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ト]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$i$を虚数単位とする．$x=1+i$および$y=1-i$のとき，$x^2+5xy+4y^2$の値は実部が$[サ]$，虚部が$[シ]$となる．
(2)$2$点$(-1,\ 0)$，$(3,\ 2)$を通る半径が$\sqrt{10}$の円は，中心の座標が$([ス],\ [セ])$のものと$([ソ],\ [タ])$のものがある．
(3)$\alpha$と$\beta$が鋭角で，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{3}{5}$のとき，$\sin (\alpha+\beta)$の値は$[チ]$である．
(4)方程式$\displaystyle \log_2 x \cdot \log_2 \frac{x}{2}=12$の解は，$x=[ツ]$と$x=[テ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n \cdot 2^{n+1}$で表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ト]$となる．