次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^2+4a+5$の値を求めよ．
(2)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_2x-\log_2y=1 \\
x \log_2 x-y \log_2 y=0
\end{array} \right. \]
(3)$s,\ t$を実数とする．座標空間内の同一平面上にある$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ s,\ t)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(0,\ 5,\ 1)$が$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$をみたすとき，$s,\ t$の値を求めよ．
(4)初項が$3$，公比が$4$である等比数列の第$k$項を$a_k$とする．このとき，$\displaystyle \sum_{k=n}^{n^2}a_k$を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の定数とし，$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$の定める平面を$\alpha$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，平面$\alpha$に垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{n}=(n_1,\ n_2,\ n_3)$とする．ただし，$n_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{n}$を求めよ．
(2)平面$\alpha$上に点$\mathrm{H}$があり，直線$\mathrm{OH}$は$\alpha$に垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$および$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を$S_1$とする．四面体$\mathrm{OABC}$の体積を考えることにより，$S_1=n_1S$であることを示せ．

平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{D}$があって，三角形の面積比が
\[ \triangle \mathrm{DBC}:\triangle \mathrm{DCA}:\triangle \mathrm{DAB}=p:q:r \]
であるとする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{S}$，直線$\mathrm{BD}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{T}$とするとき，$\mathrm{BS}:\mathrm{SC}$および$\mathrm{CT}:\mathrm{TA}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}+r \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{p+q+r}$となることを示せ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間上に$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 4)$，$\mathrm{C}(4,\ 3,\ 5)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)平面$\mathrm{OAB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を適当な実数$s,\ t,\ u$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表したとき，$s,\ t,\ u$の値を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離を求めよ．

座標平面上の$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{Q}_0(1,\ 3)$，$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( -\frac{1}{2},\ 3 \right)$に対して，点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$を以下で定める．
\[ \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{Q}_{n-1}},\quad \overrightarrow{\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}$の成分を求めよ．
(3)$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．

座標平面上の曲線$y=x^2(1-x)$を$C$とし，直線$y=-x$を$\ell$とする．数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．$\displaystyle a_1=\frac{2}{5}$とし，$x=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$における$C$の接線と$\ell$の交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$0<a_{n+1}<{a_n}^2$を示せ．

$m$を実数とする．方程式
\[ mx^2-my^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，方程式$(*)$が表す図形は$2$直線であることを示せ．
(2)$(1)$で求めた$2$直線は$m$の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3)$m$が$-1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき，$(1)$で求めた$2$直線の交点の軌跡を図示せよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

実数$p,\ q$に対して，
\[ f(x)=x^2+px+q,\quad g(x)=x^3-3x \]
とおく．$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$として，次の問に答えよ．

(1)$2$次方程式の解と係数の関係を用いて，積$g(\alpha)g(\beta)$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$であるとき，点$(p,\ q)$の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数であることを示せ．