$s$を実数とする．$1<t<5$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{P} \left( s,\ t,\ \frac{4}{t} \right)$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$は一直線上にないことを示せ．
(2)$\angle \mathrm{OPA}$は鋭角であることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積の最小値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積が最小となるとき，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の定める平面に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．

$2$つの関数を$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$，$\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x$とする．$xy$平面上に，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=g(x)$がある．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式$|f(x)|>|g(x)|$を解け．
(3)$V$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 10)$，$\mathrm{B}(7,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くものとする．$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$n$を$18$以下の自然数とする．くじが$18$本あり，そのうち$2$本が当たりくじである．この$18$本の中から$n$本を同時に引くとき，当たりくじを$1$本以上含む確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きくなる$n$の最小値を求めよ．
(3)$1$分間に$8 \, \%$の割合で個数が増えるバクテリアがある．このバクテリア$10$個が初めて$1000$個以上になるのは何分後か．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，答えは整数で求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．$xy$平面上に$3$つの曲線$C_1:y=x^2+a^4$，$C_2:y=x^2$，$C_3:y=-x^2+2a^2x-2a^4+4a$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$に$1$本の接線を引き，$C_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の軌跡$C_4$の方程式を求めよ．
(2)$C_3$と$C_4$が$2$つの交点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たすとき，$C_3$と$C_4$で囲まれた部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とする．$S(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)空間上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(-1,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ -1)$とする．この$3$点を通る平面上に$\mathrm{D}(a,\ b,\ -1)$があるとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=a>0,\quad a_{n+1}=16{a_n}^3 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
をみたすものとする．

(i) 数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_2 a_n$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(iii) すべての$n$について$a_n=a$をみたすような$a$の値を求めよ．

(3)複素数平面において，等式$2 |z-4|=3 |z-3i|$をみたす点$z$の全体はどのような図形を表すか．ただし$i$は虚数単位とする．

原点$\mathrm{O}$の座標平面上で点$\mathrm{A}(a,\ 0)$が与えられている．ただし$0<a<1$とする．また，点$\mathrm{P}$は曲線$x^2+y^2=1 (y>0)$上を以下の条件をみたしながら動くものとする．

（条件）三角形$\mathrm{OAP}$の外心$\mathrm{Q}$は$x^2+y^2 \leqq 1$をみたす領域内にある．

点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$q$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)$q$の取りうる範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$q$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が条件をみたしながら動くとき，三角形$\mathrm{OAP}$が通過する領域の面積を$a$を用いて表せ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=4$，
\[ \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2},\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3},\quad \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする．また，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{CQ}$，線分$\mathrm{CP}$の中点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{QS}$の交点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{T}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{TH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{HT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABT}$の体積を求めよ．

空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-3,\ -2,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．次の問いに答えなさい．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AH}$と$\mathrm{AD}$の長さの比を求めなさい．

正の実数$a$に対して，座標平面上で次の放物線を考える．
\[ C:y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a} \]
$a$が正の実数全体を動くとき，$C$の通過する領域を図示せよ．

座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$を考える．また，$\mathrm{P}$を座標平面上の点とし，その$x$座標の絶対値は$1$以下であるとする．次の条件$(ⅰ)$または$(ⅱ)$をみたす点$\mathrm{P}$の範囲を図示し，その面積を求めよ．

(i) 頂点の$x$座標の絶対値が$1$以上の$2$次関数のグラフで，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$をすべて通るものがある．
(ii) 点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$は同一直線上にある．