$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と，原点を中心とする半径1の円$C$を考える．$C$上の点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，$f(a)=\mathrm{AQ}+\mathrm{PQ}$を$a$を用いて表しなさい．
(2)(1)で求めた関数$f(a)$の$-1 \leqq a \leqq 1$における最大値を求めなさい．

点$\mathrm{O}$を原点とする空間内に2点$\mathrm{P}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(-1,\ a,\ b)$があり，$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$かつ$\angle \mathrm{POQ}=60^\circ$が成り立っている．ただし，$a<0$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面上において，$\mathrm{Q}$とは異なる点$\mathrm{R}(x,\ y,\ z)$が$\mathrm{OP}=\mathrm{OR}$かつ$\angle \mathrm{POR}=60^\circ$をみたすように$x,\ y,\ z$の値を定めなさい．

$xy$平面において，直線$y=8$の上に点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$が，直線$y=0$の上に点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_3$，$\mathrm{Q}_4$，$\mathrm{Q}_5$が，それぞれ$x$座標の小さい順に並んでいる．これらを$y=8$上の点と$y=0$上の点ひとつずつからなる5つの組に分け，それぞれの組の2点を結んでできる5本の線分を考える．下図はその一例である．このとき，次の問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)3本の線分$\mathrm{P}_i \mathrm{Q}_n$，$\mathrm{P}_j \mathrm{Q}_m$，$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_l$が1点$\mathrm{R}$で交わるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{P}_i \mathrm{P}_j \cdot \mathrm{Q}_l \mathrm{Q}_m}{\mathrm{P}_j \mathrm{P}_k \cdot \mathrm{Q}_m \mathrm{Q}_n}$を求めなさい．ただし，$i<j<k$かつ$l<m<n$であるとする．
(2)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい．
(3)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい．

$24$時間診療業務を休みなく行う病院において，$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える．$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり，$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする．さて，病院における在庫管理では，「品切れ」が起きないこと，「コスト」をできるだけ低くすること，この$2$つが肝要である．医療材料$\mathrm{A}$の保管費は，その保管期間に比例し，$1$個につき$10$日間で$1$円である．また，納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば，注文量の多少に関わらず，品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる．なお，担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており，品切れになる直前という最適のタイミングで，注文した量が届くものとする．われわれは，保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする．そして注文する量は毎回一定として，$x$で表す．このとき，時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを，横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ．（図示する際には，適当な$x$の値を自ら設定すること．）
以下，$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する．
(2)周期的な$y$の変動に留意して，平均在庫量を求めよ．
(3)長期にわたる保管費，事務費の総額をそれぞれ見積もり，保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ．さらに，この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ．

平面上のベクトル$\overrightarrow{a_n}$，$\overrightarrow{b_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，$\overrightarrow{a_1}=(4,\ 0)$，$\overrightarrow{b_1}=(0,\ 4)$と関係式
\[ \overrightarrow{a_{n+1}}=\frac{3 \overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{b_n}}{4},\quad \overrightarrow{b_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{a_n}-3 \overrightarrow{b_n}}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．さらに原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$，$\overrightarrow{b_n}=\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a_2},\ \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a_{n+2}}$を$\overrightarrow{a_n}$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$の値を求めよ．
(4)$S_1+S_2+\cdots +S_n>21$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

$n$は自然数を表すとして，以下の問いに答えよ．

(1)平面を次の条件を満たす$n$個の直線によって分割する．
【どの直線も他のすべての直線と交わり，どの$3$つの直線も$1$点で交わらない．】
このような$n$個の直線によって作られる領域の個数を$L(n)$とすると，$L(1)=2,\ L(2)=4$は容易にわかる．次の問いに答えよ．

(i) $L(3),\ L(4),\ L(5)$をそれぞれ求めよ．
(ii) $L(n)$の漸化式を求めよ．
(iii) $L(n)$を求めよ．

(2)平面を次の条件を満たす$n$個の円によって分割する．
【どの円も他のすべての円と$2$点で交わり，どの$3$つの円も$1$点で交わらない．】
このような$n$個の円によって作られる領域の個数を$D(n)$とすると，$D(1)=2$は容易にわかる．次の問いに答えよ．

(i) $D(2),\ D(3),\ D(4)$をそれぞれ求めよ．
(ii) $D(n)$の漸化式を求めよ．
(iii) $D(n)$を求めよ．

座標平面上の点を，原点のまわりに角$\theta$だけ回転移動させる一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$A$とする．以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする．$2$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ．
(2)$A^n=E$となる条件を示せ．ただし，$n$は$2$以上の整数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$，$E$は単位行列とする．
(3)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする．点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると，原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする．$n$個の点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ．また，$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)座標平面上の点を，原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする．座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする．点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき，$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$，$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ．

$xy$平面上の点とベクトルに関する以下の問いに答えよ．

(1)図のように$x$軸の正の部分と$30^\circ$の角をなす直線上に$n$個の点（$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \cdots, \mathrm{A}_n$）を以下の規則で配置する．このときの$\mathrm{A}_n$の座標を$n$を用いて表せ．また$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}_1},\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}} \]
（図は省略）
(2)今度は$n$個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．このとき$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うものとする．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}}| \]
（図は省略）

座標平面上の$3$点$(0,\ 0)$，$(6,\ 0)$，$(0,\ 6)$を頂点とする三角形と$4$点$(0,\ t)$，$(0,\ t-4)$，$(4,\ t-4)$，$(4,\ t)$を頂点とする正方形の共通部分の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．ただし，$2 \leqq t \leqq 6$とする．

(1)$S(2)$と$S(6)$の値を求めよ．
(2)$S(t)$を最大にする$t$の値と，$S(t)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$2 \leqq t \leqq 5$のとき，$S(t)=S(t+1)$をみたす$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3$である．このとき，$\overrightarrow{p}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$を求めよ．
(2)条件$\left\{ \begin{array}{l}
1 \leqq x-2y \leqq 3 \\
0 \leqq x+y \leqq 1
\end{array} \right.$の表す領域$D$を図示せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$3 \sin \theta-1<\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(4)平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1)$がある．点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3$の$0<x<1$の部分を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値を求めよ．