行列$C=\left( \begin{array}{cc}
0 & \displaystyle\frac{1}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{A}$が，$C$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{B}$に移されたとする．線分$\mathrm{OA}$の長さを$|\mathrm{OA|}$，線分$\mathrm{OB}$の長さを$|\mathrm{OB|}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\mathrm{OB|}}{|\mathrm{OA|}}$を求めよ．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を求めよ．
(2)$C,\ C^2,\ \cdots,\ C^n$の表す$n$個（$n \geqq 2$）の$1$次変換によって，座標平面上の点$\mathrm{P}_0$がそれぞれ点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$に移されるとする．点$\mathrm{P}_0$の座標が$(1,\ 1)$であるとき，線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$の長さの総和を$L_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ．

$m>0$，$n>0$とする．座標平面の$x$軸上に原点$\mathrm{O}$をはさんで左側に点$\mathrm{B}$，右側に点$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{BC}$の長さを$c$とする．ただし，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$は共に点$\mathrm{O}$と異なるものとする．以下の問に答えなさい．

(1)原点$\mathrm{O}$が線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分するとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$x$座標を$m,\ n,\ c$を用いて表しなさい．
(2)座標平面上の任意の点$\mathrm{A}(a,\ b)$は，次の関係式を満たすことを示しなさい．
\[ \frac{n}{m+n} \mathrm{AB}^2+\frac{m}{m+n} \mathrm{AC}^2=\mathrm{AO}^2+\frac{n}{m} \mathrm{BO}^2 \]

$a \neq c$とする．座標平面上で，焦点$\mathrm{F}(0,\ c)$と準線$y=a$とから等距離にある点$(x,\ y)$の軌跡は放物線であり，その式を$x^2=4p(y-q)$とおくとき，$\displaystyle q=\frac{a+c}{2}$となる．以下の問に答えなさい．

(1)この放物線と直線$y=c$の交点は，焦点$\mathrm{F}$と準線$y=a$とから等距離にあることに着目して，$p$を$a$と$c$の式で表しなさい．
(2)$a>c>b$とする．焦点$\mathrm{F}$，準線$y=a$の放物線を$L$で表し，焦点$\mathrm{F}$，準線$y=b$の放物線を$L^\prime$で表す．$L$と$L^\prime$の交点$\mathrm{T}$の$y$座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた交点$\mathrm{T}$における$L$の接線と$L^\prime$の接線は，直交することを示しなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$5$点$\mathrm{A}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 4)$をとる．中心が$\mathrm{D}$，半径が$2$の球面を$S$とし，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$S$が$\alpha$と交わってできる図形を$F$とする．$\mathrm{D}$から$\alpha$に垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha$に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．
(2)$F$は$\mathrm{H}$を中心とする円であることを示せ．
(3)$F$の半径と中心の座標を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$は$F$上を動く点とし，直線$\mathrm{EP}$と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}(s,\ t,\ 0)$とする．このとき，$s,\ t$が満たす方程式を求めよ．

$0 \leqq a<1$とする．$xy$平面上の曲線$C$を$y=1+x \sqrt{1-x^2}$で，直線$\ell$を$y=1+ax$で定める．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$の関数と考えて$V(a)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，不等式$2x \sqrt{1-x^2} \geqq x$を解け．
(2)$V(a)$を$a$を用いて多項式で表せ．
(3)$\displaystyle M_n=\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n V \left( \frac{k}{2n} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}M_n$を求めよ．

$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(-b,\ a)$，$\mathrm{C}(a^2-b^2,\ 4ab)$を考える．ただし，$a,\ b$はそれぞれ$a>0$，$b>0$，$a+b=1$を満たす任意の実数である．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$が条件を満たしながら動くとき，点$\mathrm{C}$が描く図形を図で示せ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とおくとき，$\theta$を最小にする$a$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を最大にする$a$の値を求めよ．

逆行列をもつ行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される$1$次変換を考える．以下の問いに答えよ．

(1)この変換によって$xy$平面上の任意の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$および$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$がそれぞれ$\mathrm{P}^\prime ({x_1}^\prime,\ {y_1}^\prime)$および$\mathrm{Q}^\prime ({x_2}^\prime,\ {y_2}^\prime)$に移されるとき，$2$点間の距離が変換によって変化しない，つまり，$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}|^2$であるための必要十分条件は，
\[ A^\mathrm{T}A=E \qquad \cdots\cdots (*) \]
であることを示せ．ただし，$A^\mathrm{T}$は$A$の行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列，すなわち，
\[ A^\mathrm{T}=\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \]
である．また，$E$は単位行列である．
(2)原点のまわりの回転移動および$x$軸に関する対称移動の$1$次変換を，それぞれ，$f$および$g$とする．これらの$1$次変換を表す行列は，それぞれ，上の条件$(*)$を満たすことを確かめよ．
(3)$(2)$で考えた$1$次変換$f$および$g$を表す行列をそれぞれ$F$および$G$とし，$A=FGF^{-1}$で定義される行列$A$によって表される$1$次変換を考える．この変換によって直線$y=mx$上の任意の点がそれ自身に移されるとき，$A$を実数$m$を用いて表せ．ただし，$F^{-1}$は$F$の逆行列を表す．
(4)$(1)$で考えた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$の座標を用いて，$S=x_1y_2-y_1x_2$および$S^{\prime}={x_1}^\prime {y_2}^\prime-{y_1}^\prime {x_2}^\prime$を定義する．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$への変換を表す行列が$(3)$で求めた$A$で与えられるとき，$S$と$S^\prime$の関係式を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$，$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$，$S_1$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S |\cos \theta|$を示せ．
(2)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり，線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．

$1$から$4$の数字が$1$つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に$4$回投げ，底面に書かれてある数字をサイコロを投げた順番に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とする．そして，座標平面上の$2$点を$\mathrm{P}_1(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{P}_2(-a_3,\ a_4)$とする．また，原点を$\mathrm{O}$と表す．

(1)点$\mathrm{P}_1$が直線$y=2x$上にあり，かつ点$\mathrm{P}_2$が直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$上にある確率を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が直角となる確率を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が鋭角となる確率を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$と曲線$C:y=x \sqrt{x}$を考える（ただし$x \geqq 0$とする）．曲線$C$上の点のうち，点$\mathrm{A}$までの距離が最小となるような点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_1$とする．また，曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$の値を求めよ．