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岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第2問
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき,
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ.
京都工芸繊維大学 国立 京都工芸繊維大学 2016年 第1問
空間内の平面$\alpha$上に平行四辺形$\mathrm{OABC}$があり,
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする.点$\mathrm{C}$を通り$\alpha$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり,
\[ \mathrm{CD}=1 \]
とする.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{D}$を通る平面を$\beta$とし,$\mathrm{C}$を通り$\beta$に垂直な直線と$\beta$との交点を$\mathrm{H}$とする.

(1)$\triangle \mathrm{OBD}$の面積を求めよ.
(2)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
香川大学 国立 香川大学 2016年 第3問
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AD}=3$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする.直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり,直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき,次の問に答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ.
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ.
香川大学 国立 香川大学 2016年 第3問
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AD}=3$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする.直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり,直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき,次の問に答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ.
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第2問
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき,
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第2問
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき,
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第2問
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき,
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値を求めよ.
東京学芸大学 国立 東京学芸大学 2016年 第2問
空間において,同一平面上にない$4$点を$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とする.線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OADB}$,線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OAEC}$,線分$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OBFC}$とする.下の問いに答えよ.

(1)$\triangle \mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする.点$\mathrm{O}$を中心とし,点$\mathrm{G}$を含む球面と$\triangle \mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第3問
原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$と$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 0)$とを焦点とし,直線$\ell:y=kx$と直線$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある.$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき,以下の問いに答えよ.ただし,$k$は正の定数とする.

(1)双曲線$C$の方程式を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする.$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき,$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ.
(3)$k=2$のとき,$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.ただし,$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする.$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし,$A$の補集合を$\overline{A}$とする.$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし,$B$の補集合を$\overline{B}$とする.$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり,$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である.
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は,$f(x)=[ウ]$である.
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると,$a=[エ]$である.
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である.
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき,定数$a=[カ]$,$b=[キ]$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると,$\theta=[ク]$である.
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと,$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である.ただし,空欄に入る数は整数である.
(8)$p,\ q$を実数とし,$q>4$とする.座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$,$\mathrm{B}(0,\ 4)$,$\mathrm{C}(1,\ -1)$,$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta=[サ]$である.
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