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宮城大学 公立 宮城大学 2013年 第1問
次の空欄$[ア]$から$[サ]$にあてはまる数や式を書きなさい.

(1)次の等式を満たす自然数$n$の値を求めたい.
\[ \log_5 \left( \comb{n}{n-2} \right) =\frac{1}{2} \log_5 784 \]
$784=[ア]^2 \times [イ]^2$(ただし,$[ア]$,$[イ]$は$1<[ア]<[イ]<10$を満たす自然数とする.)だから,
\[ \log_5 \left( \comb{n}{n-2} \right) =\log_5 [ウ] \]
ゆえに,$\displaystyle \frac{[エ]}{2 \cdot 1}=[ウ]$である.$n$は自然数だから,$n=[オ]$である.
(2)$2$次関数$y=-x^2+2mx+3m^2$を平方完成すれば,
\[ y=-\left( x-[カ] \right)^2+[キ] \quad \cdots\cdots① \]
となる.したがって,$①$の頂点の軌跡は,放物線
\[ y=[ク]x^2 \quad \cdots\cdots② \]
上にある.
$2$つの放物線$①$と$②$の交点の$x$座標を$m$を用いて表せば,
\[ x=[ケ] \quad \text{または} \quad x=[コ] \text{である.} \]
また,$2$つの放物線$①$と$②$で囲まれた部分の面積が$\displaystyle \frac{5}{6}$のとき,
\[ m=[サ] \quad \text{(ただし,} m>0 \text{とする.)である.} \]
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「平方完成」とは・・・

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