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熊本大学 国立 熊本大学 2016年 第1問
下図のように,$\triangle \mathrm{ABC}$の外部に$3$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$を$\triangle \mathrm{ABD}$,$\triangle \mathrm{BCE}$,$\triangle \mathrm{CAF}$がそれぞれ正三角形になるようにとる.$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$,$3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a$,$\mathrm{CA}=b$,$\mathrm{AB}=c$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき,$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて,$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し,$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ.
(3)$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき,$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第1問
次の$[ ]$を埋めよ.

(1)$2016$の正の約数は全部で$[ア]$個あり,それらの平均は$[イ]$である.
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.座標平面上に$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$,$\mathrm{P}_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$,$\mathrm{P}_2(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$がある.$x$軸に関して,点$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_1$と対称な点をそれぞれ$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$とし,さらに,四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積を$S_1(\theta)$,三角形$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$の面積を$S_2 (\theta)$とする.


(i) $\displaystyle S_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)=[ウ]$である.

(ii) $\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{S_1(\theta)}{S_2(\theta)}=[エ]$である.

(iii) $S_1(\theta)$は$\cos \theta=[オ]$のとき最大値$[カ]$をとる.
星薬科大学 私立 星薬科大学 2016年 第1問
$2$つの変量$x,\ y$の$16$個のデータ$(x_1,\ y_1)$,$(x_2,\ y_2)$,$\cdots$,$(x_{16},\ y_{16})$が

$x_1+x_2+\cdots +x_{16}=72,$
$y_1+y_2+\cdots +y_{16}=120,$
${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_{16}}^2=349,$
${y_1}^2+{y_2}^2+\cdots +{y_{16}}^2=925,$
$x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_{16}y_{16}=545$

を満たしているとき,次の問に小数で答えよ.

(1)変量$x,\ y$のデータの平均をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とすると,
\[ \overline{x}=[$1$]. [$2$],\quad \overline{y}=[$3$]. [$4$] \]
である.
(2)変量$x,\ y$のデータの標準偏差をそれぞれ$s_x,\ s_y$とすると,
\[ s_x=[$5$]. [$6$][$7$],\quad s_y=[$8$]. [$9$][$10$] \]
である.また,変量$x,\ y$のデータの共分散を$s_{xy}$とすると,
\[ s_{xy}=[$11$]. \kakkofour{$12$}{$13$}{$14$}{$15$} \]
である.
(3)変量$x,\ y$のデータの相関係数を$r$とすると,$r=[$16$]. [$17$]$である.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2016年 第5問
次の問いに答えよ.

\mon[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする.${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$,${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき,
\[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots ① \]
を以下の指示に従って,$2$通りの方法で証明せよ.

\mon[$(1)$] すべての実数$t$に対して,
\[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \]
が成り立つことを利用して$①$を証明せよ.また等号が成り立つときの条件を示せ.
\mon[$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \]
を考える.$①$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ.その上で,$①$を証明せよ.また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ.

\mon[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) (i=1,\ 2,\ 3)$を考える.変量$x$の平均を$\overline{x}$とし,$x$の偏差を$X$とする.すなわち,$X_i=x_i-\overline{x} (i=1,\ 2,\ 3)$であり,変量$y$についても同様とする.また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え,これを$r$とする.このとき,上記$①$を用いて,
\[ -1 \leqq r \leqq 1 \]
となることを示せ.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第3問
$n$と$k$を$n>k$を満たす自然数とする.$n$チームが参加するサッカーの大会がある.この大会では,全てのチームが$k$回の試合を行う.但し,その$k$試合の対戦相手は,全て異なるとする.このとき,次の問に答えよ.

(1)$n=4,\ k=2$の場合の大会が,何通りあるかもとめよ.
(2)$n=6,\ k=3$のとき,$1$つの大会の試合の総数をもとめよ.
(3)一般に,この大会が成立するためには,$n$か$k$のどちらかが,偶数でなければならないことを示せ.
(4)各試合の両チームの得点を全て合計し,試合数で割った値を,その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする.
$n=9$のとき,各チームが$k$試合行う大会における,$1$試合の平均得点が,$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする.$1$つの大会における総得点が,もっとも多くなる$k$をもとめよ.
広島女学院大学 私立 広島女学院大学 2016年 第3問
下の表は,ある高校の生徒$30$人の$2$つの科目$x$と$y$のテスト(点)の得点をまとめたものである.数値は,四捨五入していない正確な値とし,次の問いに答えよ.ただし,$\overline{x}$,$\overline{y}$はそれぞれ科目$x$,$y$の平均を意味し,$\sqrt{1.64}=1.28$,$\sqrt{2.73}=1.65$とする.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}


(1)$[$12$]$,$[$13$]$の値を求めよ.
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ.小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ.${s_x}^2=[$14$]$,${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ.小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ.$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ.小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ.$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の(ア),(イ),(ウ)の図から選べ.$[$18$]$
(図は省略)
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2015年 第5問
整数$n (n \geqq 4)$に対し,$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し,$2$枚とも表が出るか,または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする.確率変数$X_n$について,次の各問いに答えよ.

(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して,確率$P(X_n=k)$を求めよ.また,確率$P(X_n>3)$を求めよ.
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ.
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき,$E_{n+1}-E_n$を求めよ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2015年 第7問
整数$n (n \geqq 4)$に対し,$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し,$2$枚とも表が出るか,または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする.確率変数$X_n$について,次の各問いに答えよ.

(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して,確率$P(X_n=k)$を求めよ.また,確率$P(X_n>3)$を求めよ.
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ.
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき,$E_{n+1}-E_n$を求めよ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2015年 第5問
整数$n (n \geqq 4)$に対し,$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し,$2$枚とも表が出るか,または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする.確率変数$X_n$について,次の各問いに答えよ.

(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して,確率$P(X_n=k)$を求めよ.また,確率$P(X_n>3)$を求めよ.
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ.
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき,$E_{n+1}-E_n$を求めよ.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2015年 第1問
次の文章の$[ア]$から$[ム]$までに当てはまる数字$0$~$9$を求めなさい.

(1)$c$を定数として,$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{3}x(x-1)(x-c) \]
と定める.$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$において
\[ f^\prime(\alpha)=0,\quad f^\prime(\beta)=0 \]
を満たすものとする.
解と係数の関係により,
\[ \alpha+\beta=\frac{[ア]}{[イ]}(c+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{[ウ]}c \]
である.したがって


$\displaystyle\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}=-\frac{[エ]}{[オ][カ]}(c^2-c+[キ])$

$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ク]}{[ケ]}(c^2-c+1)$


となるので,$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき
\[ f(\alpha)-f(\beta)=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ][シ]} \]
である.
(2)定数$\theta$に対して,数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\cos (2^{n-1}\theta) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.

(i) 余弦の$2$倍角の公式により,数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[ス] {a_n^2}-1 \]
を満たす.
(ii) $\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$を満たすとき
\[ a_3=\frac{[セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
である.
(iii) $\displaystyle \theta=\frac{5}{96}\pi$とするとき
\[ a_{n+1}=a_n \]
を満たす最小の正の整数$n$は$[ツ]$である.

(3)大,中,小の$3$個のさいころを同時に投げるものとする.

(i) $1$の目が少なくとも$1$つ出る確率は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{[ナ][ニ][ヌ]}$である.
(ii) 出る目の最大値が$5$である確率は$\displaystyle \frac{[ネ][ノ]}{[ハ][ヒ][フ]}$である.
(iii) 大のさいころの目は中のさいころの目以上であり,かつ,小のさいころの目は中のさいころの目以下である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である.
\mon[$\tokeishi$] 大と小のさいころの目の平均が中のさいころの目と等しい確率は$\displaystyle \frac{1}{[ミ][ム]}$である.
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「平均」とは・・・

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