「平均」について
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国立 熊本大学 2016年 第1問下図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の外部に$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCE}$，$\triangle \mathrm{CAF}$がそれぞれ正三角形になるようにとる．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とおくとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて，$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し，$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ．
(3)$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき，$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて，$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し，$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ．
(3)$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき，$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$2016$の正の約数は全部で$[ア]$個あり，それらの平均は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{P}_2(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$がある．$x$軸に関して，点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_1$と対称な点をそれぞれ$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$とし，さらに，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積を$S_1(\theta)$，三角形$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$の面積を$S_2 (\theta)$とする．
(i) $\displaystyle S_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)=[ウ]$である．
(ii) $\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{S_1(\theta)}{S_2(\theta)}=[エ]$である．
(iii) $S_1(\theta)$は$\cos \theta=[オ]$のとき最大値$[カ]$をとる．
(1)$2016$の正の約数は全部で$[ア]$個あり，それらの平均は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{P}_2(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$がある．$x$軸に関して，点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_1$と対称な点をそれぞれ$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$とし，さらに，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積を$S_1(\theta)$，三角形$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$の面積を$S_2 (\theta)$とする．
(i) $\displaystyle S_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)=[ウ]$である．
(ii) $\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{S_1(\theta)}{S_2(\theta)}=[エ]$である．
(iii) $S_1(\theta)$は$\cos \theta=[オ]$のとき最大値$[カ]$をとる．
私立 星薬科大学 2016年 第1問$2$つの変量$x,\ y$の$16$個のデータ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$，$\cdots$，$(x_{16},\ y_{16})$が
$x_1+x_2+\cdots +x_{16}=72,$
$y_1+y_2+\cdots +y_{16}=120,$
${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_{16}}^2=349,$
${y_1}^2+{y_2}^2+\cdots +{y_{16}}^2=925,$
$x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_{16}y_{16}=545$
を満たしているとき，次の問に小数で答えよ．
(1)変量$x,\ y$のデータの平均をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とすると，
\[ \overline{x}=[$1$]. [$2$],\quad \overline{y}=[$3$]. [$4$] \]
である．
(2)変量$x,\ y$のデータの標準偏差をそれぞれ$s_x,\ s_y$とすると，
\[ s_x=[$5$]. [$6$][$7$],\quad s_y=[$8$]. [$9$][$10$] \]
である．また，変量$x,\ y$のデータの共分散を$s_{xy}$とすると，
\[ s_{xy}=[$11$]. \kakkofour{$12$}{$13$}{$14$}{$15$} \]
である．
(3)変量$x,\ y$のデータの相関係数を$r$とすると，$r=[$16$]. [$17$]$である．
$x_1+x_2+\cdots +x_{16}=72,$
$y_1+y_2+\cdots +y_{16}=120,$
${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_{16}}^2=349,$
${y_1}^2+{y_2}^2+\cdots +{y_{16}}^2=925,$
$x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_{16}y_{16}=545$
を満たしているとき，次の問に小数で答えよ．
(1)変量$x,\ y$のデータの平均をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とすると，
\[ \overline{x}=[$1$]. [$2$],\quad \overline{y}=[$3$]. [$4$] \]
である．
(2)変量$x,\ y$のデータの標準偏差をそれぞれ$s_x,\ s_y$とすると，
\[ s_x=[$5$]. [$6$][$7$],\quad s_y=[$8$]. [$9$][$10$] \]
である．また，変量$x,\ y$のデータの共分散を$s_{xy}$とすると，
\[ s_{xy}=[$11$]. \kakkofour{$12$}{$13$}{$14$}{$15$} \]
である．
(3)変量$x,\ y$のデータの相関係数を$r$とすると，$r=[$16$]. [$17$]$である．
私立 西南学院大学 2016年 第5問次の問いに答えよ．
\mon[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする．${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$，${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき，
\[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots ① \]
を以下の指示に従って，$2$通りの方法で証明せよ．
\mon[$(1)$] すべての実数$t$に対して，
\[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \]
が成り立つことを利用して$①$を証明せよ．また等号が成り立つときの条件を示せ．
\mon[$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \]
を考える．$①$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ．その上で，$①$を証明せよ．また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ．
\mon[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) (i=1,\ 2,\ 3)$を考える．変量$x$の平均を$\overline{x}$とし，$x$の偏差を$X$とする．すなわち，$X_i=x_i-\overline{x} (i=1,\ 2,\ 3)$であり，変量$y$についても同様とする．また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え，これを$r$とする．このとき，上記$①$を用いて，
\[ -1 \leqq r \leqq 1 \]
となることを示せ．
\mon[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする．${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$，${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき，
\[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots ① \]
を以下の指示に従って，$2$通りの方法で証明せよ．
\mon[$(1)$] すべての実数$t$に対して，
\[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \]
が成り立つことを利用して$①$を証明せよ．また等号が成り立つときの条件を示せ．
\mon[$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \]
を考える．$①$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ．その上で，$①$を証明せよ．また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ．
\mon[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) (i=1,\ 2,\ 3)$を考える．変量$x$の平均を$\overline{x}$とし，$x$の偏差を$X$とする．すなわち，$X_i=x_i-\overline{x} (i=1,\ 2,\ 3)$であり，変量$y$についても同様とする．また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え，これを$r$とする．このとき，上記$①$を用いて，
\[ -1 \leqq r \leqq 1 \]
となることを示せ．
私立 明治大学 2016年 第3問$n$と$k$を$n>k$を満たす自然数とする．$n$チームが参加するサッカーの大会がある．この大会では，全てのチームが$k$回の試合を行う．但し，その$k$試合の対戦相手は，全て異なるとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n=4,\ k=2$の場合の大会が，何通りあるかもとめよ．
(2)$n=6,\ k=3$のとき，$1$つの大会の試合の総数をもとめよ．
(3)一般に，この大会が成立するためには，$n$か$k$のどちらかが，偶数でなければならないことを示せ．
(4)各試合の両チームの得点を全て合計し，試合数で割った値を，その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする．
$n=9$のとき，各チームが$k$試合行う大会における，$1$試合の平均得点が，$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする．$1$つの大会における総得点が，もっとも多くなる$k$をもとめよ．
(1)$n=4,\ k=2$の場合の大会が，何通りあるかもとめよ．
(2)$n=6,\ k=3$のとき，$1$つの大会の試合の総数をもとめよ．
(3)一般に，この大会が成立するためには，$n$か$k$のどちらかが，偶数でなければならないことを示せ．
(4)各試合の両チームの得点を全て合計し，試合数で割った値を，その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする．
$n=9$のとき，各チームが$k$試合行う大会における，$1$試合の平均得点が，$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする．$1$つの大会における総得点が，もっとも多くなる$k$をもとめよ．
私立 広島女学院大学 2016年 第3問下の表は，ある高校の生徒$30$人の$2$つの科目$x$と$y$のテスト（点）の得点をまとめたものである．数値は，四捨五入していない正確な値とし，次の問いに答えよ．ただし，$\overline{x}$，$\overline{y}$はそれぞれ科目$x$，$y$の平均を意味し，$\sqrt{1.64}=1.28$，$\sqrt{2.73}=1.65$とする．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
(1)$[$12$]$，$[$13$]$の値を求めよ．
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．${s_x}^2=[$14$]$，${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ．$[$18$]$
（図は省略）
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
(1)$[$12$]$，$[$13$]$の値を求めよ．
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．${s_x}^2=[$14$]$，${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ．$[$18$]$
（図は省略）
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の文章の$[ア]$から$[ム]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めなさい．
(1)$c$を定数として，$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{3}x(x-1)(x-c) \]
と定める．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$において
\[ f^\prime(\alpha)=0,\quad f^\prime(\beta)=0 \]
を満たすものとする．
解と係数の関係により，
\[ \alpha+\beta=\frac{[ア]}{[イ]}(c+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{[ウ]}c \]
である．したがって
$\displaystyle\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}=-\frac{[エ]}{[オ][カ]}(c^2-c+[キ])$
$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ク]}{[ケ]}(c^2-c+1)$
となるので，$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき
\[ f(\alpha)-f(\beta)=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ][シ]} \]
である．
(2)定数$\theta$に対して，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\cos (2^{n-1}\theta) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．
(i) 余弦の$2$倍角の公式により，数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[ス] {a_n^2}-1 \]
を満たす．
(ii) $\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$を満たすとき
\[ a_3=\frac{[セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
である．
(iii) $\displaystyle \theta=\frac{5}{96}\pi$とするとき
\[ a_{n+1}=a_n \]
を満たす最小の正の整数$n$は$[ツ]$である．
(3)大，中，小の$3$個のさいころを同時に投げるものとする．
(i) $1$の目が少なくとも$1$つ出る確率は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{[ナ][ニ][ヌ]}$である．
(ii) 出る目の最大値が$5$である確率は$\displaystyle \frac{[ネ][ノ]}{[ハ][ヒ][フ]}$である．
(iii) 大のさいころの目は中のさいころの目以上であり，かつ，小のさいころの目は中のさいころの目以下である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 大と小のさいころの目の平均が中のさいころの目と等しい確率は$\displaystyle \frac{1}{[ミ][ム]}$である．
(1)$c$を定数として，$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{3}x(x-1)(x-c) \]
と定める．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$において
\[ f^\prime(\alpha)=0,\quad f^\prime(\beta)=0 \]
を満たすものとする．
解と係数の関係により，
\[ \alpha+\beta=\frac{[ア]}{[イ]}(c+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{[ウ]}c \]
である．したがって
$\displaystyle\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}=-\frac{[エ]}{[オ][カ]}(c^2-c+[キ])$
$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ク]}{[ケ]}(c^2-c+1)$
となるので，$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき
\[ f(\alpha)-f(\beta)=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ][シ]} \]
である．
(2)定数$\theta$に対して，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\cos (2^{n-1}\theta) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．
(i) 余弦の$2$倍角の公式により，数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[ス] {a_n^2}-1 \]
を満たす．
(ii) $\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$を満たすとき
\[ a_3=\frac{[セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
である．
(iii) $\displaystyle \theta=\frac{5}{96}\pi$とするとき
\[ a_{n+1}=a_n \]
を満たす最小の正の整数$n$は$[ツ]$である．
(3)大，中，小の$3$個のさいころを同時に投げるものとする．
(i) $1$の目が少なくとも$1$つ出る確率は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{[ナ][ニ][ヌ]}$である．
(ii) 出る目の最大値が$5$である確率は$\displaystyle \frac{[ネ][ノ]}{[ハ][ヒ][フ]}$である．
(iii) 大のさいころの目は中のさいころの目以上であり，かつ，小のさいころの目は中のさいころの目以下である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 大と小のさいころの目の平均が中のさいころの目と等しい確率は$\displaystyle \frac{1}{[ミ][ム]}$である．