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明治大学 私立 明治大学 2016年 第5問
$m$は定数とする.次の連立不等式について下の各問に答えよ.
\[ \left\{ \begin{array}{lr}
x^2-3mx+2m^2<0 \phantom{\displaystyle\frac{2}{2}} & \cdots\cdots ① \\
2x^2-(m-4)x-2m<0 \phantom{\displaystyle\frac{2}{2}} & \cdots\cdots ②
\end{array} \right. \]
において,

(1)$①$の左辺の式を因数分解せよ.
(2)$②$の左辺の式を因数分解せよ.
(3)$①$の不等式を満たす$x$の範囲を求めよ.
(4)$②$の不等式を満たす$x$の範囲を求めよ.
(5)この連立不等式の整数解がただ$1$つとなるときの整数解と,そのときの$m$の範囲を求めよ.
藤田保健衛生大学 私立 藤田保健衛生大学 2015年 第3問
$n$を$3$以上の整数とする.$(x-1)^2P(x)+ax+b=x^n+x^{n-1}+\cdots +x+1$が成り立っているとする.ただし$P(x)$は$x$の整式とし,$a,\ b$は定数であるとする.この等式の左辺を微分すると$[$6$]$である.このとき$(a,\ b)=[$7$]$である.
小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2013年 第2問
三角関数の加法定理を用いると
\[ \begin{array}{l}
\cos 2\theta=2 \cos^2 \theta-1,\quad \sin 2\theta=2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 3\theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta,\quad \sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta
\end{array} \]
を導くことができる.このとき,次の問いに答えよ.

(1)加法定理と上の公式を利用して,$\cos 5\theta=16 \cos^5 \theta-20 \cos^3 \theta+5 \cos \theta$を導け.
(2)$\displaystyle x=\cos \frac{2\pi}{5}$とおくと,(1)より$16x^5-20x^3+5x-1=0$となる.この左辺を因数分解すると$(x-1)(ax^2+bx+c)^2$となる.整数$a,\ b,\ c$を求めよ.ただし,$a>0$とする.
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ.
法政大学 私立 法政大学 2012年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$a>0$として,$x=\log_2 a$とおく.
$x=5$のとき,$a=[アイ]$である.次に,$2a \neq 1$のとき,不等式
\[ \log_2 256a > 3 \log_{2a} a\]
の左辺は$[ウ]+x$,右辺は$\displaystyle \frac{[エ]x}{[オ]+x}$である.したがって,上の不等式を満たす$x$の値の範囲は
\[ [カキ] < x < [クケ],\quad x > [コサ] \]
である.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$を満たすとする.また,
\[ s=\frac{1}{4}\cos \theta, \quad t=\frac{16\sqrt{3}}{3}\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
とおく.$s$のとり得る値の範囲は
\[ 2^{\frac{[シス]}{[セ]}} \leqq s \leqq 2^{[ソタ]} \]
であり,$t$のとり得る値の範囲は
\[ [チ]\sqrt{[ツ]} - \frac{[テ]\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq t \leqq [ニ] \]
である.
\[ st=[ヌ]+\frac{[ネ]\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \sin \left( 2\theta + \frac{[ヒ]}{[フ]}\pi \right) \]
であり,$st<1$となる$\theta$の値の範囲は,$\displaystyle \theta > \frac{\pi}{[ヘ]}$である.
岩手大学 国立 岩手大学 2011年 第3問
次の文章について,後の問いに答えよ.\\ \\
\quad 地球温暖化問題に関して,二酸化炭素の排出量の削減が叫ばれている.2008年に日本で開かれたサミットでは,42年後の2050年までに,年当たりの排出量を2008年のときと比較して50$\%$以上削減する,という目標が提言された.この目標を達成するために,前年比同率で削減することを考える.\\
\quad 2008年における排出量を$a \ (a>0)$とし,毎年,前年の$d \times 100 \% \ (0<d<1)$を減らすこととする.2008年の1年後の2009年の排出量の目標は[\bf ア]である.2008年から$n$年後の年間排出量を$a_n$とおくと,$a_n=[イ]$である.目標を達成するには$\displaystyle a_{42} \leqq \frac{a}{2}$,つまり,$d$を用いた式で表せば,
\[ [ウ] \leqq \frac{1}{2} \]
が成り立てばよい.両辺の逆数をとれば$\displaystyle \frac{1}{[ウ]} \geqq 2$となる.ところで,不等式
\[ (1+d)^{42} < \frac{1}{[ウ]} \ \, \cdots\cdots \maru{1} \]
が成り立つことがわかる.従って,
\[ (1+d)^{42} \geqq 2 \qquad\qquad \cdots\cdots \maru{2} \]
を満たす$d$を見つければ目標を達成することは明らかである.不等式\maru{2}の左辺は,二項定理により
\[ (1+d)^{42} =\sum_{r=0}^{42} [エ] \]
と表される.これを用いると,\underline{$d=0.02$は不等式\maru{2}を満たす}ことがわかる.つまり,毎年$2\%$の削減を2009年から行ったとすれば,42年後の2050年の排出量は2008年の$50\%$未満となることがわかった.

(1)文章中の[ア]~[エ]に当てはまる式を答えよ.
(2)$0<d<1$とするとき,不等式\maru{1}を証明せよ.
(3)下線部の命題を証明せよ.
(4)毎年$2\%$の削減を行った場合でも,42年間の排出量の合計は,削減率を0のまま2008年と同じ排出量を同じ期間続けたときの排出量の合計の$\displaystyle \frac{7}{12}$倍より大きくなることを証明せよ.
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