$f(x),\ g(x)$を$x$の整式とする．これらが
\[ f(x) = 2x + \int_0^1 g(t) \, dt \]
\[g(x) = x^2 \int_0^1 f(t) \, dt + 2 \]
を満たすとき，
\[ f(x) = [(1)] x + \frac{[(2)]}{[(3)]} \]
\[ g(x) = \frac{[(4)]}{[(5)]}x^2 +[(6)]x + [(7)] \]
となる．さらに，
\[ \int_{-1}^2 \left\{f(t)+2g(t)\right\}\,dt = \frac{[(8)][(9)][(10)]}{[(11)]} \]
\[ \int_0^2 f(t)g^{\prime}(t) \, dt= [(12)][(13)][(14)] \]
である．

実数係数の$x$の多項式で表された関数$f(x)$は，導関数$f^{\prime}(x)$がすべての実数$x$に対して
$f^\prime (x)>0$をみたし，かつ，$f^\prime (x)$は極大値をもつとする．実数$s$に対して，点$(s,\ f(s))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$s$の関数として$g(s)$と表す．

(1)導関数$g^\prime(s)$を求めよ．
(2)関数$g(s)$は極大値と極小値をもつことを示せ．

次の文章中の$[ア]$から$[ラ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする．
\[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l}
b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\
a_{n+1}=3b_n+2
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_1 = [ア]$で，$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]} b_n + \frac{[エ]}{[オ]}$となる．これより，
\[ b_n = \displaystyle\frac{[カ]}{[キ]} - \frac{[ク]}{[ケ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \]
となるので，
\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{[シ]}{[ス]}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{[セ]}{[ソ]} \]
となる。また，
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト]} \]
である．
(2)複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta (0 \leq \theta<2\pi)$に対して，複素数$\omega$を
\[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位を，$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す．
いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす．このとき，$\omega$の実部の最大値は[ナ]，最小値は[ニ]であり，$\omega \overline{\omega}$の最大値は[ヌ][ネ][ノ]，最小値は[ハ][ヒ]である．ただし，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す．

(3)$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が，
\[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \]
を満たすとする．ここで，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．$f(x)$を求めると，
\[ f(x) = [フ] x\log x - \frac{[ヘ]}{[ホ]} x + \frac{[マ]}{[ミ]} \quad (x>0) \]
となる．関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{[ム]}{[メ]}}$のとき，最小値
\[ -[モ]e^{-\frac{[ヤ]}{[ユ]}} + \frac{[ヨ]}{[ラ]}\]
をとる。

$2$つの関数
\[ x=g(\theta)=\frac{9}{4}\sin 2\theta, \quad y=h(x)=\log x \]
に対して，関数$g(\theta)$と関数$h(x)$の合成関数
\[ f(\theta) = h(g(\theta)) \]
を考える．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$\displaystyle f\left( \frac{\pi}{3} \right) = -[ア]\log 2 + \frac{[イ]}{[ウ]}\log 3$である．

(2)実数$\theta_1$が$\displaystyle \sin \theta_1+\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{82}}{8}$を満たすとき，
\[ f(\theta_1) = - [エ] \log 2 + [オ]\log 3 \]
である．
(3)$f(\theta)$の$\displaystyle\theta=\frac{\pi}{8},\ \theta=\frac{\pi}{12}$における微分係数はそれぞれ
\[ f^{\; \prime} \left( \frac{\pi}{8} \right) = [カ], \quad f^{\; \prime} \left(\frac{\pi}{12}\right) = [キ]\sqrt{[ク]} \]
となる．

$x$の関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^2}$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^{\, \prime}(x)$を求め，$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第2次導関数$f^{\, \prime\prime}(x)$を求め，さらに$f^{\, \prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(3)$x>0$において，$2\sqrt{x}-\log x > 0$を示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \int_1^a f(x)\, dx = \int_1^c f(x) \, dx$を満たす正の定数$c$を求めよ．

自然数$n$に対して，$3$次曲線$C_n:y=x(x-n)(x-n-1)$を考え，原点$\mathrm{O}$を通る$C_n$の接線で，接点が原点以外のものを$\ell_n$とする．また，$C_n$の原点における接線と$C_n$で囲まれる部分の面積を$S_n$とし，$\ell_n$と$C_n$で囲まれる部分の面積を$T_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell_n$の方程式を求めよ．
(2)$S_n,\ T_n$を求め，さらに，$\displaystyle \frac{T_n}{S_n}$を求めよ．
(3)$\ell_1$と平行な$C_1$の接線で，$\ell_1$と異なるものを$\ell^\prime$とする．$\ell^\prime$の方程式を求めよ．
(4)$\ell^\prime$は$(3)$におけるとおりとする．次の$4$直線で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
\begin{itemize}
$\ell_1$
$\ell^\prime$
$\ell_1$が$C_1$と接する点を通り，$y$軸に平行な直線
$\ell^\prime$が$C_1$と接する点を通り，$y$軸に平行な直線
\end{itemize}

次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[ア]$である．
(2)互いに異なる定数$a,\ b,\ c$が$\displaystyle \frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}$を満たすとき，$\displaystyle \frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}$のとる値は$[イ]$である．ただし，$abc \neq 0$とする．
(3)白玉$3$個と黒玉$3$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてもとに戻す．この試行を$3$回繰り返すとき，白玉を$2$回取り出す確率は$[ウ]$である．
(4)整式$P(x)$を$x-1$で割った余りが$-2$，$x-2$で割った余りが3，$x-3$で割った余りが8ならば，$P(x)$を$(x-1)(x-2)(x-3)$で割った余りは$[エ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$は$a_1=-7$と漸化式$2a_{n+1}=3a_n+8 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．この数列の一般項は$a_n=[オ]$である．
(6)平行四辺形ABCDにおいて，辺ABを$2:1$に内分する点をE，辺BCの中点をF，辺CDの中点をGとする．線分CEと線分FGの交点をHとすると，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[カ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[キ]\overrightarrow{\mathrm{AD}}$となる．
(7)関数$f(x)=x^2-2ax+a+6$がすべての実数$x$に対して$f(x)>0$を満たすならば，定数$a$の値の取りうる範囲は，$[ク]<a<[ケ]$となる．
(8)関数$f(x)=ax^2+bx+1$が$f(1)=-6$と$\displaystyle \int_0^3 \{ f^\prime(x) \}^2 \, dx=63$を満たすならば，定数$a,\ b$の値は$a=[コ],\ b=[サ]$である．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-5$の導関数$f^\prime(x)$が，$f^\prime(1)=1$と$f^\prime(2)=20$を満たすとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$a$は正の実数で，$b=32a^3$とする．$x=\log_2b$，$y=\log_2a$とおくとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2$が$18$である点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

$a$を実数として，関数$\displaystyle f(x)=a \cos x-\frac{\cos x}{1+\sin x} \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を考える．

(1)$t=\sin x$とし，$f^\prime(x)$を$a$と$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{6} \right)=0$となるように$a$の値を定めよ．そのとき，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$で極大となることを示し，極大値$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
(3)$a$の値を$(2)$のように定めるとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$x$の多項式$f(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$を$f^\prime(x)$で割ったときの商と余りを求めよ．
(3)放物線$y=ax^2+bx+c$が曲線$y=f(x)$上の極値に対応する点をすべて通るように，実数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．