関数$f(x)=ax^2+bx+c$を用いて，関数$g(x)$が
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-ax^2+1 & \displaystyle\left( x<\frac{\sqrt{a}}{a} \right) \\
f(x) & \displaystyle\left( x \geqq \frac{\sqrt{a}}{a} \right) \phantom{\frac{[　]^{\mkakko{}}}{2}}
\end{array} \right. \]
で定義されている．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で，$a>0$とする．次の各問に答えなさい．

(1)関数$f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)曲線$C_1:y=f(x)$は点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{a},\ 0 \right)$を通り，この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2 \sqrt{a}$であるとする．

(i) $b$を$a$の式で表しなさい．また，$c$の値を求めなさい．
(ii) 関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように，$a$の値を定めなさい．

(3)曲線$C_2:y=g(x)$は$2$点$(2,\ -1)$，$(3,\ 0)$を通る．また，曲線$C_2$と直線$L:y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す．ただし，$a=1$，$0 \leqq t \leqq 2$とする．このとき，$S(t)$の導関数の値は正である．

(i) $b,\ c$の値をそれぞれ求めなさい．
(ii) $S(t)$の最小値を求めなさい．
(iii) $S(t)$が最大値をとるとき，曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい．また，$S(t)$の最大値を求めなさい．

円$C$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線$m$が交わっているとする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$とは異なる$m$上の点$\mathrm{S}$を$\mathrm{QR}=\mathrm{QS}$を満たすように定める．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{S}$を通る直線と円$C$との交点で$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$を中心に$\mathrm{T}$を${180}^\circ$回転した点を$\mathrm{T}^\prime$とする．

(1)$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}^\prime$，$\mathrm{R}$が同一円周上にあることを示せ．
(2)$\mathrm{QP}=\sqrt{10}$，$\mathrm{PR}=\sqrt{5}$，$\mathrm{RT}^\prime=1$，$\mathrm{T}^\prime \mathrm{Q}=\sqrt{2}$のとき，$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを求めよ．さらに，四角形$\mathrm{PQT}^\prime \mathrm{R}$の面積を求めよ．

$F(x),\ f(x),\ g(x)$は関数である．次の問いに答えよ．

(1)$0<a \leqq \pi$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^x \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．

(i) $f(x)$は$\displaystyle (1-x) \int_0^x f(t) \, dt=x \int_x^1 f(t) \, dt$と$f(1)=1$を満たすとする．$f(x)$を求めよ．
(ii) $f(x)$は$(ⅰ)$で求めた関数である．$g(x)$は，$x<y$ならば$g(x)>g(y)$を満たし，$\displaystyle g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=0$であるとする．このとき，開区間$(a,\ 2a)$で$F(x)$が極大値をただ$1$つもつように，$a$の値の範囲を定めよ．

(2)$a \geqq 0$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^{x+a} \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．$f(x)>0$，$f^\prime(x)>0$であり，$g(x)=xf(x)$であるとする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$F(x) \leqq 0$となることを示せ．

関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1$，$a_2$，$a_3$は負の実数とする．

(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．
(5)$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を負の実数とする．関数$g(x)=x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4$に対し，$g(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．$x<0$のとき，$g(x)-g(-x)>0$を示せ．$g(x)=0$の正の実数解を$q$とおく．$x \leqq -q$のとき，$g(x)>0$を示せ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，関数$f(x)=ax^2+bx+c$を考える．
\[ I=\int_0^1 {\{f^\prime(x)\}}^2 \, dx \]
とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$I$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$\theta$を$0 \leqq \theta<\pi$をみたす実数とする．$a=\cos \theta$，$b=\sin \theta$のとき，$I$を$\cos 2\theta$と$\sin 2\theta$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$I$の最大値，最小値を求めよ．

実数$x \neq 1$について定義される関数
\[ f(x)=\frac{1+x}{1-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1+0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．曲線$y=f(x)$上の格子点の座標をすべて求めよ．
(4)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(5)$x \leqq 0$かつ$y \geqq 0$で表される領域において，$x$軸と$y$軸および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．

微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．