「導関数」について
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(12ページ目:全552問中111問~120問を表示)![茨城大学](./img/univ/ibaraki.png)
以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり,$e$は自然対数の底である.
(1)関数$f(x)=x^2 \sqrt{1+\log x}$の$x=e^3$における微分係数$f^\prime(e^3)$を求めよ.
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において,$2$つの曲線$y=\sin x$と$\displaystyle y=\sin \frac{x}{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1}{x^3-8} \int_2^x t^2 \, 2^{t^2} \, dt$を求めよ.
(1)関数$f(x)=x^2 \sqrt{1+\log x}$の$x=e^3$における微分係数$f^\prime(e^3)$を求めよ.
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において,$2$つの曲線$y=\sin x$と$\displaystyle y=\sin \frac{x}{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1}{x^3-8} \int_2^x t^2 \, 2^{t^2} \, dt$を求めよ.
![三重大学](./img/univ/mie.png)
平面上の$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=4$,$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする.また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり,$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする.$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり,$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする.さらに$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線と,$\mathrm{A}^\prime$,$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする.以下の問いに答えよ.
(図は省略)
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ.
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ.また,それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ.
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり,$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする.また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする.$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ.
(図は省略)
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ.
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ.また,それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ.
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり,$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする.また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする.$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ.
![三重大学](./img/univ/mie.png)
平面上の$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=4$,$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする.また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり,$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする.$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり,$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする.さらに$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線と,$\mathrm{A}^\prime$,$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする.以下の問いに答えよ.
(図は省略)
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ.
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ.また,それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ.
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり,$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする.また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする.このとき,長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ.
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする.$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ.
(図は省略)
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ.
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ.また,それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ.
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり,$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする.また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする.このとき,長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ.
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする.$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ.
![三重大学](./img/univ/mie.png)
平面上の$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=4$,$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする.また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり,$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする.$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり,$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする.さらに$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線と,$\mathrm{A}^\prime$,$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする.以下の問いに答えよ.
(図は省略)
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ.
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ.また,それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ.
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり,$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする.また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする.このとき,長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ.
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする.$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ.
(図は省略)
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ.
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ.また,それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ.
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり,$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする.また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする.このとき,長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ.
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする.$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ.
![三重大学](./img/univ/mie.png)
平面上の$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=4$,$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする.また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり,$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする.$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり,$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする.さらに$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線と,$\mathrm{A}^\prime$,$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする.以下の問いに答えよ.
(図は省略)
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ.
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ.また,それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ.
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり,$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする.また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする.このとき,長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ.
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする.$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ.
(図は省略)
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ.
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ.また,それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ.
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり,$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする.また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする.このとき,長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ.
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする.$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ.
![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
$n$を自然数とする.
(1)$n$以下の非負の整数$k$について,関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ.
(1)$n$以下の非負の整数$k$について,関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ.
![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
$n$を自然数とする.
(1)$n$以下の非負の整数$k$について,関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ.
(1)$n$以下の非負の整数$k$について,関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
方程式$x-(y-k)^2=0$で表される曲線$C$上に動点$\mathrm{P}((t-k)^2,\ t)$があって,点$\mathrm{P}$と点$(k^2,\ 0)$との距離の$2$乗を$f(t)$とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし,$k>0$とする.
(1)曲線$C$の概形をかけ.
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき,方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ.
(3)$k=2$のとき,$f(t)$の極大値を求めよ.
(1)曲線$C$の概形をかけ.
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき,方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ.
(3)$k=2$のとき,$f(t)$の極大値を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について,次の問に答えよ.ただし,$a_1$,$a_2$,$a_3$は負の実数とする.
(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ.
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$,負の実数解を$\beta$とおくとき,$-\alpha<\beta$を示せ.
(2)$f(x)=0$の正の実数解は,ただ$1$つであることを示せ.
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ.
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく.$x \leqq -p$のとき,$f(x)<0$を示せ.
(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ.
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$,負の実数解を$\beta$とおくとき,$-\alpha<\beta$を示せ.
(2)$f(x)=0$の正の実数解は,ただ$1$つであることを示せ.
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ.
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく.$x \leqq -p$のとき,$f(x)<0$を示せ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について,次の問に答えよ.ただし,$a_1$,$a_2$,$a_3$は負の実数とする.
(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ.
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$,負の実数解を$\beta$とおくとき,$-\alpha<\beta$を示せ.
(2)$f(x)=0$の正の実数解は,ただ$1$つであることを示せ.
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ.
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく.$x \leqq -p$のとき,$f(x)<0$を示せ.
(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ.
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$,負の実数解を$\beta$とおくとき,$-\alpha<\beta$を示せ.
(2)$f(x)=0$の正の実数解は,ただ$1$つであることを示せ.
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ.
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく.$x \leqq -p$のとき,$f(x)<0$を示せ.