タグ「対称」の検索結果

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九州大学 国立 九州大学 2016年 第3問
座標平面上で円$x^2+y^2=1$に内接する正六角形で,点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考える.この正六角形の頂点を$\mathrm{P}_0$から反時計まわりに順に$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\mathrm{P}_5$とする.ある頂点に置かれている$1$枚のコインに対し,$1$つのサイコロを$1$回投げ,出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす.


\mon[(規則)$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は,出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす.例えば,コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす.
(ii) $6$の目が出た場合は,$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす.ただし,コインが$x$軸上にあるときは動かさない.例えば,コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす.

はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き,$1$つのサイコロを続けて何回か投げて,$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える.以下の問いに答えよ.

(1)$2$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
(2)$3$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
(3)$n$を自然数とする.$n$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2016年 第4問
区間$-1 \leqq x \leqq 1$において,$2$つの関数$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$,$g(x)=x-\sqrt{1-x^2}$を考える.曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$で囲まれた図形を$D$とする.以下の問いに答えよ.

(1)関数$f(x)$の増減を調べ,その最大値と最小値を求めよ.
(2)曲線$C_1$は曲線$C_2$と原点に関して対称であることを示せ.
(3)区間$-1 \leqq x \leqq 1$において,$f(x)$と$-g(x)$の値の大小関係を調べよ.また,$g(x) \geqq 0$が成り立つような$x$の範囲を求めよ.
(4)図形$D$の$x \geqq 0$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第3問
座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1)$,$\mathrm{D}(1,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある.点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする.直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし,$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする.さらに,直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし,その交点を$\mathrm{P}_3$とする.

(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第2問
座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1)$,$\mathrm{D}(1,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある.点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする.直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし,$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする.さらに,直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし,その交点を$\mathrm{P}_3$とする.

(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第2問
座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1)$,$\mathrm{D}(1,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある.点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする.直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし,$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする.さらに,直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし,その交点を$\mathrm{P}_3$とする.

(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2016年 第3問
複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$($i$は虚数単位)の$3$つの解を,その偏角$\theta$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする.複素数平面上で,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2016年 第2問
複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$($i$は虚数単位)の$3$つの解を,その偏角$\theta$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする.複素数平面上で,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
九州工業大学 国立 九州工業大学 2016年 第4問
点$\mathrm{A}(1,\ 0)$および点$\displaystyle \mathrm{P}(\sqrt{3} \cos \theta,\ \sqrt{3} \sin \theta) \left( 0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$がある.$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とし,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{A}$を通る直線を$\ell$,$2$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする.次に答えよ.ただし,$\mathrm{O}$は原点を表す.

(1)$\sqrt{3} \cos \theta>1$を示せ.
(2)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を$\theta$を用いて表せ.
(3)直線$\ell$と直線$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(4)三角形$\mathrm{PAQ}$の面積を$S$とする.$\theta$が変化するとき,$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ.
(5)$\theta$が$(4)$で求めた値をとるとき,$2$直線$\ell,\ m$および曲線$x^2+y^2=3 (x \geqq \sqrt{3} \cos \theta)$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2016年 第2問
$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円周上の点$\mathrm{P}$について,以下の問いに答えよ.なお,点$\mathrm{A}$の座標を$(r,\ 0)$,$\angle \mathrm{AOP}$の値を$\theta$とする.
(図は省略)

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,この円に接する接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)接線$\ell$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,\ 0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.ただし,点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする.
(4)接線$\ell$に関して,点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ.ただし,点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする.
(5)$r=1$,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき,接線$\ell$に関して,直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ.
津田塾大学 私立 津田塾大学 2016年 第3問
$a$を正の定数とし,放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$における接線を$\ell_1$とする.ただし,$t>0$である.

(1)$\ell_1$と$x$軸との交点を通り$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする.$\ell_2$は$\mathrm{P}$によらない定点を通ることを示せ.
(2)$x$軸に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_3$とする.$\ell_3$と$C$の$2$つの交点のうち$x$座標が大きい方を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき,$C$と直線$\mathrm{QR}$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
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「対称」とは・・・

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