$t$を実数とし，$xy$平面上に直線$\ell:y=tx$と曲線$C:y=\log x$がある．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$が$C$と共有点をもたないとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\ell$が$C$と接するとき，$\ell$と$C$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)正の実数$a$に対して，$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$と$\ell$の距離を$f(a)$とおく．$f(a)$の最小値を$t$を用いて表せ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$

(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$


(2)次の定積分の値を求めよ．


(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$

(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$


(2)次の定積分の値を求めよ．


(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$

$3$つの関数$f(x)=\log_3(18-x)$，$g(x)=\log_3(4x^2)$，$h(x)=\log_9(4x^4)$について，次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0<x<2$のとき，$f(x)$，$g(x)$，$h(x)$の大小を比較せよ．
(3)関数$\displaystyle y=f(x)-\frac{1}{2}g(x)+h(x)$の$0<x<18$における最大値とそのときの$x$を求めよ．

座標平面上の曲線$C:y=e^x$に対し，次の問に答えよ．

(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a$を正の実数とする．

(1)平面上の点$(x,\ y)$は$x+y=a$，$x>0$，$y>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y \]
の最小値を求めよ．
(2)空間上の点$(x,\ y,\ z)$は$x+y+z=a$，$x>0$，$y>0$，$z>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y+z \log z \]
の最小値を求めよ．

$a$を正の実数とする．

(1)平面上の点$(x,\ y)$は$x+y=a$，$x>0$，$y>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y \]
の最小値を求めよ．
(2)空間上の点$(x,\ y,\ z)$は$x+y+z=a$，$x>0$，$y>0$，$z>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y+z \log z \]
の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して$\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．
(2)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}<\log (1+x)<x$が成り立つことを示せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x+\log (1+x)} \, dx$を求めよ．

関数$f(x)=(\log x)^2-\log x (x>0)$を考える．次の各問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ．また関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし関数$y=f(x)$の増減，凹凸，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を明示すること．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$s>0$，$t>0$とする．正の数からなる$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は初項と第$2$項が$a_1=b_1=s$，$a_2=b_2=t$であり，すべての自然数$n$に対して
\[ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},\quad b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n} \]
をみたすとする．次に答えよ．

(1)$a_3,\ b_3,\ a_4,\ b_4$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$d_n=\log b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(5)$t=s$は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$であるための必要十分条件であることを示せ．