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私立 広島修道大学 2014年 第3問$a$を定数とし，$a>0$，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_{\sqrt{a}} (x-a)-\log_{a^2}4>\log_a (2x+\frac{1}{2}a^2-4a) \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$0<a<1$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$a \geqq 4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$1<a<4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
\[ \log_{\sqrt{a}} (x-a)-\log_{a^2}4>\log_a (2x+\frac{1}{2}a^2-4a) \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$0<a<1$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$a \geqq 4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$1<a<4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
私立 日本女子大学 2014年 第1問次の連立方程式を満たす実数$x,\ y,\ z$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_2 xyz=2 \\
\log_2 xy^2z^3=3 \\
\log_2 x^2y^3z=4
\end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_2 xyz=2 \\
\log_2 xy^2z^3=3 \\
\log_2 x^2y^3z=4
\end{array} \right. \]
私立 早稲田大学 2014年 第3問条件$\log_2 (y-1)=\log_2 (x-2)+\log_2 (x-3)$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合が$xy$平面上に描く曲線を$A$とする．次の問に答えよ．
(1)曲線$A$を図示せよ．
(2)直線$y=\alpha x+\beta$が曲線$A$の接線であるとき，$\alpha$と$\beta$の間に成り立つ関係式を求めよ．また，$\alpha$と$\beta$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=ax+b$が曲線$A$と共有点をもたないような$a,\ b$の条件を求めよ．
(1)曲線$A$を図示せよ．
(2)直線$y=\alpha x+\beta$が曲線$A$の接線であるとき，$\alpha$と$\beta$の間に成り立つ関係式を求めよ．また，$\alpha$と$\beta$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=ax+b$が曲線$A$と共有点をもたないような$a,\ b$の条件を求めよ．
私立 大阪薬科大学 2014年 第3問次の問いに答えなさい．
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=[$\mathrm{I]$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式
\[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \]
を満たす最小の自然数$n$は$[$\mathrm{L]$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=[$\mathrm{I]$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式
\[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \]
を満たす最小の自然数$n$は$[$\mathrm{L]$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．
私立 広島修道大学 2014年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．
(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．
私立 津田塾大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{a}$，$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$の$5$文字を$1$列に並べるとき，$\mathrm{a}$が隣り合わない並べ方は何通りあるか．
(2)${10}^{\frac{n}{77}}$が$5$より大きくなる最小の自然数$n$を求めよ．ただし$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle \cos x+\cos \left( \frac{\pi}{3}-x \right)$の取りうる値の範囲を答えよ．
(1)$\mathrm{a}$，$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$の$5$文字を$1$列に並べるとき，$\mathrm{a}$が隣り合わない並べ方は何通りあるか．
(2)${10}^{\frac{n}{77}}$が$5$より大きくなる最小の自然数$n$を求めよ．ただし$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle \cos x+\cos \left( \frac{\pi}{3}-x \right)$の取りうる値の範囲を答えよ．
私立 早稲田大学 2014年 第4問関数$f(x)$を次の積分で定義する．
\[ f(x)=\int_x^{x+\log 2} |e^{2t|-e^t-2} \, dt \]
次の問に答えよ．
(1)$g(t)=e^{2t}-e^t-2$のグラフを描け．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$が極値をとる$x$を求めよ．
\[ f(x)=\int_x^{x+\log 2} |e^{2t|-e^t-2} \, dt \]
次の問に答えよ．
(1)$g(t)=e^{2t}-e^t-2$のグラフを描け．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$が極値をとる$x$を求めよ．
私立 早稲田大学 2014年 第3問連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq - \ {\left( \log_{\frac{1}{3}} x \right)}^2+\displaystyle\frac{4}{\log_x 3} \quad \cdots (*) \\
y \geqq \log_3 x \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．
(1)$\log_3 x=t$とおくとき，不等式$(*)$を$t$と$y$で表すと，$y \leqq [サ]t^2+[シ]t$となる．
(2)領域$D$において，$y$のとりうる値の範囲を表す不等式は，次の$①$から$④$の中の$[ス]$の形であり，$a=[セ]$，$b=[ソ]$である．ただし，$[ス]$は$1$から$4$の数をマークして答えること．
\[ ① a \leqq y \leqq b \qquad ② a \leqq y<b \qquad ③ a<y \leqq b \qquad ④ a<y<b \]
(3)$x,\ y$がともに整数である点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x-y$の最大値は$[タ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq - \ {\left( \log_{\frac{1}{3}} x \right)}^2+\displaystyle\frac{4}{\log_x 3} \quad \cdots (*) \\
y \geqq \log_3 x \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．
(1)$\log_3 x=t$とおくとき，不等式$(*)$を$t$と$y$で表すと，$y \leqq [サ]t^2+[シ]t$となる．
(2)領域$D$において，$y$のとりうる値の範囲を表す不等式は，次の$①$から$④$の中の$[ス]$の形であり，$a=[セ]$，$b=[ソ]$である．ただし，$[ス]$は$1$から$4$の数をマークして答えること．
\[ ① a \leqq y \leqq b \qquad ② a \leqq y<b \qquad ③ a<y \leqq b \qquad ④ a<y<b \]
(3)$x,\ y$がともに整数である点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x-y$の最大値は$[タ]$である．
私立 早稲田大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$から$[$6$]$にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
私立 昭和大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$(1$-$1)$ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2)$(2$-$1)$ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$(1$-$1)$ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2)$(2$-$1)$ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．