$y=(\log_3 3x)^2+\log_3 (9x)^3+\log_3 x+2$とする．$\log_3 x=t$とおいて$y$を$t$の式で表すと$[　]$となる．$y$が最小となる$x$の値を求めると，$x=[　]$である．

$a,\ b$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x-a}{b}}+2} \quad (x>0) \]
を考える．

(1)$x>a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=[ア]$であり，$x<a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)曲線$y=f(x)$の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[エオ]}{[カ]b}x+\frac{a+[キ]b}{[ク]b}$である．
(3)$\displaystyle b=\frac{1}{3}$とする．$t=e^{3(x-a)}$とおくと，$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{[ケ]t}$であり，正の定数$c$に対して，
\[ \int_a^{a+c}f(x) \, dx=\frac{1}{[コ]} \log \left( \frac{[サ]e^{3c}}{e^{3c}+[シ]} \right) \]
となる．また，正の定数$p,\ q$が，$\displaystyle \int_{a-q}^{a+p} f(x) \, dx=\frac{4}{3}p$を満たすとき，
\[ q=\frac{1}{[ス]} \log \left( \frac{e^{[セ]p}+[ソ]e^{[タ]p}-1}{[チ]} \right) \]
となる．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$a$を実数の定数として，放物線$y=2x^2-(a+3)x+a+1$のグラフの頂点は$([ア],\ [イ])$で，この点は$a$の値にかかわらず，放物線$y=[ウ]x^2+[エ]x-[オ]$上にある．
(2)平面上の直線$y=2x+1$と点$(0,\ 1)$において${45}^\circ$の角度で交わる直線は$2$つあり，これらの直線の方程式は，$[カ]$と$[キ]$である．
(3)$5$つの数$\sqrt[3]{4}$，$1$，$16^{\frac{1}{5}}$，$\log_43$，$\log_32$を小さいほうから順に並べると
\[ [ク]<[ケ]<[コ]<[サ]<[シ] \]
となる．
(4)方程式$7x+19y=2014$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ス]$個ある．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．

数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n(a_n+2) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義されるとき，次の空所を埋めよ．

(1)$b_n=a_n+1$とおくと，$b_1=[ア]$であり，$b_3=[イ]$である．また，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=[ウ]$となる．
(2)$c_n=\log_2b_n$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列である．
(3)$c_8=[カ]$だから，$a_8$は$[キ]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

$2$つの関数$f(x)=\log (a-4x)$，$g(x)=\log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数であり，$a>4$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{B}$における接線と，曲線$y=g(x)$の点$\mathrm{B}$における接線が直交するとき，$a$の値を求めよ．
(4)$a$を$(3)$で求めた値とするとき，$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+x-2 \leqq 0 \displaystyle \phantom{\frac{1}{[　]}} \\
\displaystyle\frac{x-6}{7}>\frac{x-4}{5}
\end{array} \right. \]
を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 6)$に対して，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は$[　]$である．
(3)$(x+2y)^6$の展開式における$x^2y^4$の係数は$[　]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$x$の方程式$(\log_2 x)^2+(a+1) \log_2 x+1=0$が異なる$2$つの実数の解をもつような$a$の値の範囲は$[　]$である．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=4$，$\angle \mathrm{AOB}={15}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[　]$である．

原点$\mathrm{O}$を通り，曲線$y=2+2 \log x$に接する直線を$\ell$とし，その接点を$\mathrm{A}$とする．また，この曲線と直線$\ell$，および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)この曲線と$x$軸との交点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ア]}{e}$である．
(2)接点$\mathrm{A}$の座標は$([イ],\ [ウ])$である．
(3)図形$D$の面積は$\displaystyle [エ]-\frac{[オ]}{e}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[カ]([キ]-e)}{[ク]e} \pi$である．

次の問に答えよ．

(1)$y=\log x$のグラフをもとにして，$y=\log (3-x)$と$\displaystyle y=\log \frac{4}{x+2}$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=\log (3-x)$と曲線$\displaystyle y=\log \frac{4}{x+2}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$2 \cdot 8^{2x}-3 \cdot 8^x-2=0$を満たす$x$を求めなさい．
(2)$y>0$とする．$2{(\log_2 y)}^2-3 \log_2 y-2=0$を満たす$y$を求めなさい．
(3)$0 \leqq z \leqq 2\pi$とする．$2 \sin^2 z-3 \sin z-2=0$を満たす$z$を求めなさい．