次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$のとき


$x^3-2x^2+4x+2=[ア]+\sqrt{[イ]}i$

$\displaystyle x^4-2x^3+3x^2-7x=\frac{[ウ][エ]-[オ] \sqrt{[カ]}i}{[キ]}$


である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$2$次方程式$x^2-4x-3=0$の正の解の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると


$a=[ク]$

$b=\sqrt{[ケ]}-[コ]$

$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}-[ス][セ]}{[ソ]}$


である．
(3)不等式$\log_9 (2-x)^2-\log_{\frac{1}{3}} (x-1)>\log_3 (3-2x)$の解は
\[ \frac{[タ]-\sqrt{[チ]}}{[ツ]}<x<\frac{[テ]}{[ト]} \]
である．

座標平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x}(x-t)(x-t-1)$（ただし$x>0,\ t>0$）がある．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}(t+1,\ 0)$における接線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{5}$の場合について考える．$\ell_1$の傾きは$[ア][イ]$，$\ell_2$の傾きは$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$であり，点$\mathrm{R}$の$y$座標は$\displaystyle -\frac{[オ]}{[カ]}$である．また，$\ell_1$，$\ell_2$および$C$によって囲まれた部分の面積は
\[ \frac{[キ]}{[ク][ケ]} \log [コ]-\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]} \]
である．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するのは$\displaystyle t=\frac{[ソ][タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツ]}$のときである．また，$\triangle \mathrm{PQR}$が二等辺三角形となるのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$のとき


$x^3-2x^2+4x+2=[ア]+\sqrt{[イ]}i$

$\displaystyle x^4-2x^3+3x^2-7x=\frac{[ウ][エ]-[オ] \sqrt{[カ]}i}{[キ]}$


である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$2$次方程式$x^2-4x-3=0$の正の解の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると


$a=[ク]$

$b=\sqrt{[ケ]}-[コ]$

$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}-[ス][セ]}{[ソ]}$


である．
(3)不等式$\log_9 (2-x)^2-\log_{\frac{1}{3}} (x-1)>\log_3 (3-2x)$の解は
\[ \frac{[タ]-\sqrt{[チ]}}{[ツ]}<x<\frac{[テ]}{[ト]} \]
である．

以下の$(1)$～$(4)$の$[$1$]$～$[$4$]$に適切な値を答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$A=e^2$とするとき，
\[ 8 \left( 1+\cos^3 \frac{\pi}{18} \right) \log_A e-\frac{3}{2} \left( 1+\cos \frac{\pi}{18} \right) \log_e A=[$1$] \]
である．
(2)$b$を正の定数，$x$を正の実数とする．方程式$\log_e x=bx$が異なる$2$つの実数解をもつのは$0<b<[$2$]$のときである．
(3)数列$\{c_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，初項$1$，公差$2$の等差数列とする．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$に対して$T_n=\log_e S_n$，$U_n=e^{T_n}$と定義する．数列$\{U_n\}$の初項から第$24$項までの和の値は$[$3$]$となる．

(4)定積分$\displaystyle \int_0^D \frac{2e^x}{2e^x+3} \, dx$の値は$[$4$]$である．ただし，$D=\log_e 3$とする．

次の問いに答えよ．

(1)${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき，$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと，$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+[ア]b+[イ]}{[ウ]}$である．
(2)次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$[エ][オ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-12x+10<0 \\
x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
(3)区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$[カ][キ][ク]$通りである．ただし，$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする．
(4)$\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \alpha=[ケ]+\sqrt{[コ]}$，$\tan \beta=[サ][シ]+\sqrt{[ス]}$である．
(5)点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$，$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して，直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は
\[ y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+\frac{[タ]}{[チ]},\quad z=0 \]
である．
(6)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{[ツ]}{[テ]} \{([ト]n-1)3^n+1 \}$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．

$x$についての方程式$\log_{\sqrt{2}}x+\log_x 16=k$は$|k|>[ア] \sqrt{2}$のとき異なる$2$つの実数解$x_1,\ x_2$をもつ．このとき，$\displaystyle \log_2 x_1+\log_2 x_2=\frac{k}{[イ]}$，$x_1^{\log_{\sqrt{2}}x_2}=[ウエ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(3+2i)x-(2+5i)y=6-7i$（ただし，$i^2=-1$）をみたすとき，$x=[ア]$，$y=[イ]$である．
(2)不等式$\displaystyle \frac{x-4}{3}<\frac{x-3}{2}<\frac{x-2}{6}$の解は$\displaystyle [ウ]<x<\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$A={120}^\circ$，$B={45}^\circ$，$\mathrm{BC}=6 \sqrt{2}$のとき，$\mathrm{CA}=[カ] \sqrt{[キ]}$である．
(4)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出た目の和が$4$である確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$，出た目の和が$16$である確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(5)整式$2x^3+ax^2-bx-14$が$x^2-4$で割り切れるとき，定数$a,\ b$の値は$\displaystyle a=\frac{[セ]}{[ソ]}$，$b=[タ]$である．
(6)方程式$16^x-9 \cdot 4^x+8=0$の解は$\displaystyle x=[チ],\ \frac{[ツ]}{[テ]}$である．
(7)不等式$\displaystyle \log_2 (x-3)<\frac{1}{2} \log_2 (2x-3)$の解は$[ト]<x<[ナ]$である．
(8)関数$f(x)=x^3-ax^2+(a+3)x+4$が$x=3$で極値をとるとき，定数$a$の値は$[ニ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ヌ]$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき，$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$，$a^2+b^2=[ウエ]$である．
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$，$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし，$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$，$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である．必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$を用いよ．
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする．$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき，$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である．ただし，$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$，$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ．

$x$は実数で，関数$f(x)$は$x>0$において$f(x)=(x^x-1)(\log_e x+1)$と定義されている．

(1)$f(x)=0$となる$x$の値は，$[$10$]$である．
(2)$x^x$の導関数は$[$11$]$となる．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積は$[$12$]$である．