「対数」について
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国立 帯広畜産大学 2015年 第1問数列$\{a_n\}$は初項$a$，公比$r$の等比数列であり，その一般項を$a_n$で表す．また，数列$\{b_n\}$は一般項が$b_n=\log_2 a_n$で定義され，その初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．
(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．
(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．
(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．
(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．
(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．
(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．
(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．
(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．
(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．
(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．
国立 岩手大学 2015年 第5問関数$f(x)=\log (1+x)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{1}{n} \right)+f \left( \frac{2}{n} \right)+\cdots +f \left( \frac{n}{n} \right) \right\} \]
(3)関数$g(x)=xf(x-1)-x$とするとき，$g(x)$の最小値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{1}{n} \right)+f \left( \frac{2}{n} \right)+\cdots +f \left( \frac{n}{n} \right) \right\} \]
(3)関数$g(x)=xf(x-1)-x$とするとき，$g(x)$の最小値を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
国立 大阪教育大学 2015年 第3問$a,\ b$は$0<a<b$を満たす定数とし，関数$y=\log x$のグラフを$G$とする．点$\mathrm{C}$が曲線$G$上を点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$から点$\mathrm{B}(b,\ \log b)$まで動くとき，点$\mathrm{C}$から$x$軸への垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CP}$の長さの最大値を$L$とする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表すものとする．
(1)不等式$\displaystyle a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle h=\frac{b}{a}$とおくとき，$L$を$h$を用いて表せ．
(3)実数$p,\ q,\ r$が$a<p<b$，$a<q<b$，$a<r<b$を満たすとき，不等式
\[ \frac{p+q+r}{3}<e^L \sqrt[3]{pqr} \]
が成り立つことを証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)不等式$\displaystyle a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle h=\frac{b}{a}$とおくとき，$L$を$h$を用いて表せ．
(3)実数$p,\ q,\ r$が$a<p<b$，$a<q<b$，$a<r<b$を満たすとき，不等式
\[ \frac{p+q+r}{3}<e^L \sqrt[3]{pqr} \]
が成り立つことを証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
国立 大阪教育大学 2015年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}}$について，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表すものとする．
(1)$f(x)$が極値をとる$x$の値はただ$1$つであることを示し，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の値を$c$とするとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸と直線$x=c$で囲まれた部分を$D$で表す．$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$f(x)$が極値をとる$x$の値はただ$1$つであることを示し，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の値を$c$とするとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸と直線$x=c$で囲まれた部分を$D$で表す．$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第4問曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(1,\ e)$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,\ 0)$とする．この曲線と直線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$b$を求めよ．
(2)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$b$を求めよ．
(2)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第4問曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^a)$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,\ 0)$とする．ただし，$a>1$とする．この曲線と直線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^b}^{e^a} (\log y)^2 \, dy$を$a$を用いて表せ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{ae^a}$と$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{aS}$を求めよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^b}^{e^a} (\log y)^2 \, dy$を$a$を用いて表せ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{ae^a}$と$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{aS}$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_1^3 (x-1)(x-2)(x-3) \, dx$を求めよ．
(2)方程式$|x^2-3|=2x$を解け．
(3)$a$を$1$でない自然数とする．不等式$(\log_a x)^2-\log_a x^3+2<0$を満たす自然数$x$が$1$つだけ存在するとき，$a$の値を求めよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_1^3 (x-1)(x-2)(x-3) \, dx$を求めよ．
(2)方程式$|x^2-3|=2x$を解け．
(3)$a$を$1$でない自然数とする．不等式$(\log_a x)^2-\log_a x^3+2<0$を満たす自然数$x$が$1$つだけ存在するとき，$a$の値を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を
$\displaystyle a_n=(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1)$a_1=\log 2-1$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{n+1}$を示せ．
(3)$\displaystyle a_n=\log 2-\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k+1}}{k} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(4)$x \geqq 0$のとき$\displaystyle \frac{1}{1+x} \leqq 1$であることを用いて，$\displaystyle |a_n| \leqq \frac{1}{n+1}$を示せ．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{{(-1)}^{k+1}}{k}$を求めよ．
$\displaystyle a_n=(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1)$a_1=\log 2-1$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{n+1}$を示せ．
(3)$\displaystyle a_n=\log 2-\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k+1}}{k} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(4)$x \geqq 0$のとき$\displaystyle \frac{1}{1+x} \leqq 1$であることを用いて，$\displaystyle |a_n| \leqq \frac{1}{n+1}$を示せ．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{{(-1)}^{k+1}}{k}$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第4問$xy$平面上に曲線$C:y=\log x$がある．曲線$C$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$における法線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d=\sqrt{a^2+1} \left( b+\frac{\log a-\log b}{a-b} \right)$を示せ．
(4)$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくときの$d$の極限値を$\displaystyle r=\lim_{b \to a}d$とする．
(i) $\displaystyle r=\frac{(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{a}$を示せ．
(ii) $a$が$a>0$の範囲を動くとき，$r$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d=\sqrt{a^2+1} \left( b+\frac{\log a-\log b}{a-b} \right)$を示せ．
(4)$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくときの$d$の極限値を$\displaystyle r=\lim_{b \to a}d$とする．
(i) $\displaystyle r=\frac{(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{a}$を示せ．
(ii) $a$が$a>0$の範囲を動くとき，$r$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．