「対数」について
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国立 富山大学 2015年 第3問$f(x)=\log x (x>0)$とし，曲線$C_1:y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C_2:y={(x-\sqrt{2})}^2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．
(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．
国立 長岡技術科学大学 2015年 第3問関数$f(x)={(\log x)}^2$とおく．$t$を正の数とするとき，下の問いに答えなさい．
(1)$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x=t$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた接線と$y$軸との交点の$y$座標$g(t)$を求めなさい．
(4)$g(t)$の最小値と，その最小値を与える$t$の値を求めなさい．
(1)$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x=t$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた接線と$y$軸との交点の$y$座標$g(t)$を求めなさい．
(4)$g(t)$の最小値と，その最小値を与える$t$の値を求めなさい．
国立 山梨大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\log_{10}2=0.3010$とする．$2^{2015}$の桁数を求めよ．
(2)座標空間において，点$(a,\ 0,\ -1)$を中心とする半径$3$の球面が，$yz$平面と交わってできる円の半径が$2$のとき，$a$の値を求めよ．
(3)$y=-3x^3+9x-1$の極小値を求めよ．
(4)$\displaystyle y=2 \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$のグラフをかけ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．
(1)$\log_{10}2=0.3010$とする．$2^{2015}$の桁数を求めよ．
(2)座標空間において，点$(a,\ 0,\ -1)$を中心とする半径$3$の球面が，$yz$平面と交わってできる円の半径が$2$のとき，$a$の値を求めよ．
(3)$y=-3x^3+9x-1$の極小値を求めよ．
(4)$\displaystyle y=2 \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$のグラフをかけ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．
国立 山梨大学 2015年 第2問座標平面上において，曲線$C:y=e^{2x}$上の点$\mathrm{P}(a,\ e^{2a})$における接線$\ell$は原点$\mathrm{O}$を通るとする．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \log t \, dt$および$\displaystyle \int (\log t)^2 \, dt$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \log t \, dt$および$\displaystyle \int (\log t)^2 \, dt$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 東京学芸大学 2015年 第3問$a$は$0<a<1$を満たす実数とする．$2$つの曲線$y=a^x$，$y=\log_a x$が直線$y=x$上に共有点をもち，その共有点において共通の接線をもつとする．そのときの$a$の値および共通の接線の方程式を求めよ．
国立 茨城大学 2015年 第1問$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$のとき，$\displaystyle M=\log_2 8a+\log_{4a} \frac{1}{16}$について，次の各問に答えよ．
(1)$\log_2 a=b$とするとき，$M$を$b$を用いて表せ．
(2)不等式$M>\log_{\frac{1}{3}}9$を満たす定数$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$\log_2 a=b$とするとき，$M$を$b$を用いて表せ．
(2)不等式$M>\log_{\frac{1}{3}}9$を満たす定数$a$の値の範囲を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2015年 第1問$a$を定数とする．$x>0$における関数
\[ f(x)=\log x+ax^2-3x \]
について，曲線$y=f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点をもつとする．
(1)$a$を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ f(x)=\log x+ax^2-3x \]
について，曲線$y=f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点をもつとする．
(1)$a$を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．