直線$\ell:y=ax+b$と曲線$C:y=\log x (x>0)$は接するものとする．ただし，$a,\ b$は定数であり，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell$と$C$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．$0<a<1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

正の実数$p_i,\ q_i (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$が$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i=\sum_{i=1}^n q_i=1$を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)不等式$\log x \leqq x-1$が成り立つことを証明しなさい．
(2)不等式$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \log p_i \geqq \sum_{i=1}^n p_i \log q_i$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$\displaystyle F=\sum_{i=1}^n p_i \log p_i$の最小値を求めなさい．
(4)正の実数$a_i (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$に対して，$\displaystyle G=\sum_{i=1}^n a_i \log a_i$の最小値を求めなさい．

$n$を$2$以上の自然数とし，関数$f(x)$を$f(x)=x^n \log x (x>0)$とする．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x+\frac{1}{x}>0$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to +0}x^n \log x=0$を示せ．
(3)関数$f(x)$の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし
\[ I_n=\int_{c_n}^1 f(x) \, dx \]
とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2I_n$を求めよ．

$a>0$とし，$\displaystyle I=\int_0^1 |ax-x \log (x+1)| \, dx$とする．

(1)不定積分$\displaystyle \int \{ax-x \log (x+1)\} \, dx$を求めよ．
(2)$ax-x \log (x+1)=0$を満たす$x$を求めよ．
(3)$I$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$I$を最小にする$a$の値を求めよ．

スイッチを押すと，$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある．表示される数字を$X$とすると，$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である．ただし，$C$は定数，$0<\alpha<1$である．

(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．

(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．

(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．

関数$\displaystyle f_1(x)=\frac{2}{1+e^x}$，$\displaystyle \log f_2(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_1(t) \, dt$，$\displaystyle \log f_3(x)=-\frac{1}{2}\int_0^x f_2(t) \, dt$，$\displaystyle \log f_4(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_3(t) \, dt$，$\cdots$，
\[ \log f_k(x)=\frac{{(-1)}^k}{2}\int_0^x f_{k-1}(t) \, dt \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
とする．ただし，$\log$は自然対数である．また，
\[ g_k(x)=f_k(x) \times \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．さらに，


$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^{2n+1} \int_{-\pi}^{\pi} g_k(x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，

$\displaystyle J=\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$，

$\displaystyle K=\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$


とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$f_k(x)$を積分を使わずに表せ（$k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）．
(2)$I_n$を$J$で表せ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．
(3)$J$を$K$で表せ．
(4)$I_n$を求めよ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)$n^2-92n+2015 \leqq 0$を満たす整数$n$は全部で$[$(\mathrm{a])$}$個である．
(2)方程式$\log_x (x^3+2)=\log_x x(2x+1)$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)下図の直角三角形$\mathrm{ACD}$において，$\angle \mathrm{BCD}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{DAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{DBC}=\beta$，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{CD}=h$とするとき，$h$を$x,\ \alpha,\ \beta$で表すと$h=[$(\mathrm{c])$}$である．
（図は省略）

曲線$C:y=\log x$上の点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \log \frac{3}{2} \right)$における$C$の接線と直線$x=1$，$x=3$，曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とする．$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 ax \, dx$を$a$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$の増減を調べ，$2$つの数${59}^{61},\ {61}^{59}$の大小関係を決定せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}k^2 \int_1^{e^{\frac{1}{k}}} \frac{\log x}{x^k} \, dx$を求めよ．ただし，$k$は自然数を動くものとする．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ -x^2-x \leqq \log (1-x) \leqq -x \]
(2)数列$\{a_n\}$を次によって定める．
\[ \begin{array}{rcl}
a_1 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 1^2} \right) \\
a_2 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 2^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2 \cdot 2^2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}} \\
& \vdots & \\
a_n &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2n^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2n^2} \right) \cdots \left( 1-\frac{n}{2n^2} \right)
\end{array} \]
このとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．