「対数」について
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私立 大阪歯科大学 2016年 第1問次の各問の$[ ]$にあてはまる数または式を記入しなさい．
(1)$2016$の約数（$1$と$2016$も含める）の個数は$[ ]$である．
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n$（ただし，$a_1=1$）で表される数列の第$n$項までの和は$[ ]$である．
(3)$2^{28}$の桁数は$[ ]$である．ただし，$0.3010<\log_{10}2<0.3011$である．
(4)方程式$2 \cos \theta+\sin \theta=1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$における解$\theta$に対して$\tan \theta=[ ]$である．
(1)$2016$の約数（$1$と$2016$も含める）の個数は$[ ]$である．
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n$（ただし，$a_1=1$）で表される数列の第$n$項までの和は$[ ]$である．
(3)$2^{28}$の桁数は$[ ]$である．ただし，$0.3010<\log_{10}2<0.3011$である．
(4)方程式$2 \cos \theta+\sin \theta=1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$における解$\theta$に対して$\tan \theta=[ ]$である．
私立 龍谷大学 2016年 第4問曲線$y=\log x$上の点$(p,\ \log p)$における接線$\ell$が点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を通る．
(1)$p$を求めなさい．
(2)$y=\log x$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{B}$とする．直線$\mathrm{AB}$と$\ell$，および曲線$y=\log x$で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1)$p$を求めなさい．
(2)$y=\log x$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{B}$とする．直線$\mathrm{AB}$と$\ell$，および曲線$y=\log x$で囲まれた図形の面積を求めなさい．
私立 東邦大学 2016年 第1問$e$を自然対数の底とし，関数$f(x)$を$f(x)=8 \log_e \sqrt{6+\sqrt{9+x^3}}$と定める．このとき，$\displaystyle f^\prime(3)=\frac{[ア]}{[イ]}$である．
私立 東邦大学 2016年 第8問$e$を自然対数の底とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{2}{3} \log_e x+2x^2+ax$が極値をもつための$a$の値の範囲は$\displaystyle a<\frac{[キク] \sqrt{[ケ]}}{[コ]}$である．
私立 東京女子大学 2016年 第1問$2$次方程式$\displaystyle (\log_4 a-1)x^2+(\log_2 a-2)x+\log_4 \frac{1}{a}=0$について，以下の設問に答えよ．
(1)この方程式が異なる$2$つの実数解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)この方程式が異なる$2$つの負の解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(1)この方程式が異なる$2$つの実数解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)この方程式が異なる$2$つの負の解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．
私立 東京女子大学 2016年 第6問初項が$3$である数列$\{a_n\}$と，その階差数列$\{b_n\}$が，すべての自然数$n$に対して，条件$a_n-b_n=-1$をみたしている．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 99999999$となる最大の$n$を求めよ．$\log_{10}2=0.3010$は用いてよい．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 99999999$となる最大の$n$を求めよ．$\log_{10}2=0.3010$は用いてよい．
私立 昭和薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，
$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．
(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，
$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．
私立 愛知学院大学 2016年 第3問$\displaystyle y=\log_{\frac{1}{2}}(x+\sqrt{2}) (0 \leqq x \leqq \sqrt{2})$の値域を求めなさい．
私立 中京大学 2016年 第2問${2016}^n$が$2016$桁以上となる最小の$n$は$[ア][イ][ウ]$であり，そのとき${2016}^n$の下$2$桁の数は$[エ][オ]$である．ただし，$n$は整数であり，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$とする．
私立 神奈川大学 2016年 第3問$k$を正の定数とする．関数$f(x)=kx^2-2 \log x+1$について，曲線$y=f(x)$を$C$とする．次の問いに答えよ．ただし，自然対数の底を$e$で表す．
(1)関数$f(x)$の極値を$k$を用いて表せ．
(2)曲線$C$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた値のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=2e$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極値を$k$を用いて表せ．
(2)曲線$C$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた値のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=2e$とで囲まれた部分の面積を求めよ．