「対数」について
タグ「対数」の検索結果
（1ページ目：全1047問中1問～10問を表示）
国立 京都大学 2016年 第2問ボタンを押すと「あたり」か「はずれ」のいずれかが表示される装置がある．「あたり」の表示される確率は毎回同じであるとする．この装置のボタンを$20$回押したとき，$1$回以上「あたり」の出る確率は$36 \, \%$である．$1$回以上「あたり」の出る確率が$90 \, \%$以上となるためには，この装置のボタンを最低何回押せばよいか．必要なら$0.3010<\log_{10}2<0.3011$を用いてよい．
国立 京都大学 2016年 第4問$xyz$空間において，平面$y=z$の中で
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える．ただし$a$は$1$より大きい定数とする．
この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える．ただし$a$は$1$より大きい定数とする．
この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 神戸大学 2016年 第3問$a$を正の定数とし，$2$曲線$C_1:y=\log x$，$C_2:y=ax^2$が点$\mathrm{P}$で接しているとする．以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標と$a$の値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標と$a$の値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第4問$a$を$0<a<1$を満たす実数として$x$の関数$f(x)=ax-\log (1+e^x)$の最大値を$M(a)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし必要があれば
\[ \lim_{x \to +0} x \log x=0 \]
が成り立つことを用いてよい．
(1)$M(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ．
\[ \lim_{x \to +0} x \log x=0 \]
が成り立つことを用いてよい．
(1)$M(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ．
国立 三重大学 2016年 第2問$0 \leqq x \leqq 2$とする．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第2問$0 \leqq x \leqq 2$とする．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第2問$0 \leqq x \leqq 2$とする．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第4問$\log x$は$x$の自然対数とする．
(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第2問$0 \leqq x \leqq 2$とする．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 九州大学 2016年 第1問座標平面上の曲線$C_1,\ C_2$をそれぞれ
$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$
とする．ただし，$a$は実数である．$n$を自然数とするとき，曲線$C_1$，$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている．また，曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$，曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$を$n$の式で表し，$a>1$を示せ．
(2)$S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ．
$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$
とする．ただし，$a$は実数である．$n$を自然数とするとき，曲線$C_1$，$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている．また，曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$，曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$を$n$の式で表し，$a>1$を示せ．
(2)$S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ．