$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$，$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある．$g(0)>f(0)$となるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である．
(2)次のデータは，$5$個の乾電池について，ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである．
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{（時間）} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり，$x$の分散を求めると$[エ]$である．
(3)$a_1=99$，$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり，$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である．
(4)$x$と$y$は$0<x<y$，$\log_2 x+2 \log_4 y=1$，$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす．$s=\log_2 x$，$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である．また，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と，半径$3$の球の体積が等しいとき，$h=[$\mathrm{A]$}$である．
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である．
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき，$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である．ただし，どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする．
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい．