「実数解」について
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私立 愛知学院大学 2011年 第3問$2$次方程式$x^2+(a-1)x+(a+2)=0$が相異なる$2$つの実数解もつとする．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)相異なる$2$つの実数解がどちらも正であるとき，$a$の値の範囲を求めなさい．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)相異なる$2$つの実数解がどちらも正であるとき，$a$の値の範囲を求めなさい．
私立 北海道医療大学 2011年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．
(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．
(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．
(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．
(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．
(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．
(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．
私立 北海道医療大学 2011年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．
(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．
(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．
(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．
(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．
(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．
(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．
私立 愛知工業大学 2011年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[ ]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[ ]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[ ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[ ]$であり，$a_n=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[ ]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[ ]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[ ]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[ ]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[ ]$であり，余りは$[ ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[ ]$である．
(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[ ]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[ ]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[ ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[ ]$であり，$a_n=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[ ]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[ ]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[ ]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[ ]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[ ]$であり，余りは$[ ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[ ]$である．
私立 久留米大学 2011年 第1問方程式$(\log_3 x)^2+(p-2) \log_3 x+p=0$が，ともに$0$より大きく，かつ，$1$より小さい異なる$2$つの実数解をもつとき，実数$p$がとりうる値の範囲は$[$1$]$である．
私立 久留米大学 2011年 第6問$2$つの実数$a,\ b$に対して，$2$次方程式$x^2-4ax+2b=0$および$x^2-4bx+2a=0$のどちらも実数解をもたないとき，$p=b-a$がとりうる値の範囲は$[$14$]$であり，$q=b+a$がとりうる値の範囲は$[$15$]$である．
私立 産業医科大学 2011年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[ ]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[ ]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[ ]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[ ]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[ ]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[ ]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[ ]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[ ]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．
(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[ ]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[ ]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[ ]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[ ]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[ ]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[ ]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[ ]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[ ]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．
私立 福岡大学 2011年 第1問次の$[ ]$をうめよ．
(1)方程式$9^{\log_3 x}=27$を解くと，$x=[ ]$である．
また，方程式$\log_2 x+2 \log_4 (x-3)=1$を解くと，$x=[ ]$である．
(2)$x$についての$3$次式$P(x)$を$x-2$で割ると商は$Q(x)$，余りは$a$で，$Q(x)$を$x-2$で割ると商は$x+3$，余りは$b$である．ただし，$a,\ b$は実数とする．方程式$P(x)=0$が虚数解$2+i$をもつとき，$a$と$b$の値を求めると，$(a,\ b)=[ ]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[ ]$である．
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて，$2$回目に$1$回目以上の目が出たときはお菓子を$1$個もらえ，それ以外のときは$2$回目に出た目と同じ個数だけお菓子がもらえるとする．このとき，お菓子を$3$個もらえる確率は$[ ]$である．また，もらえるお菓子の個数の期待値は$[ ]$である．
(1)方程式$9^{\log_3 x}=27$を解くと，$x=[ ]$である．
また，方程式$\log_2 x+2 \log_4 (x-3)=1$を解くと，$x=[ ]$である．
(2)$x$についての$3$次式$P(x)$を$x-2$で割ると商は$Q(x)$，余りは$a$で，$Q(x)$を$x-2$で割ると商は$x+3$，余りは$b$である．ただし，$a,\ b$は実数とする．方程式$P(x)=0$が虚数解$2+i$をもつとき，$a$と$b$の値を求めると，$(a,\ b)=[ ]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[ ]$である．
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて，$2$回目に$1$回目以上の目が出たときはお菓子を$1$個もらえ，それ以外のときは$2$回目に出た目と同じ個数だけお菓子がもらえるとする．このとき，お菓子を$3$個もらえる確率は$[ ]$である．また，もらえるお菓子の個数の期待値は$[ ]$である．
公立 首都大学東京 2011年 第3問2次の正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．
(1)$t$の2次方程式
\[ t^2-(a+d)t+ad-bc=0 \cdots\cdots \ (*) \]
が異なる2つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．
(2)$(*)$の大きい方の解を$t=\beta$と表す．実数$y$で，
\[ (A-\beta E) \biggl( \begin{array}{c}
b \\
y
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr) \]
をみたすものを求めなさい．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3)(2)で求めた$y$が正であることを示しなさい．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．
(1)$t$の2次方程式
\[ t^2-(a+d)t+ad-bc=0 \cdots\cdots \ (*) \]
が異なる2つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．
(2)$(*)$の大きい方の解を$t=\beta$と表す．実数$y$で，
\[ (A-\beta E) \biggl( \begin{array}{c}
b \\
y
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr) \]
をみたすものを求めなさい．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3)(2)で求めた$y$が正であることを示しなさい．
公立 会津大学 2011年 第5問関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x^2}=0$を用いてもよい．
(2)$a$を定数とする．方程式$\log x=ax^2$の異なる実数解の個数を調べよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x^2}=0$を用いてもよい．
(2)$a$を定数とする．方程式$\log x=ax^2$の異なる実数解の個数を調べよ．