$x$についての方程式$\log_{\sqrt{2}}x+\log_x 16=k$は$|k|>[ア] \sqrt{2}$のとき異なる$2$つの実数解$x_1,\ x_2$をもつ．このとき，$\displaystyle \log_2 x_1+\log_2 x_2=\frac{k}{[イ]}$，$x_1^{\log_{\sqrt{2}}x_2}=[ウエ]$である．

$x$についての$2$次方程式
\[ 5x^2-4ax-10x+a^2+4a-5=0 \]
が異なる$2$つの正の実数解をもつ．このとき，定数$a$の値の範囲を求めなさい．

$a$と$c$は実数で$a>0$とする．また，関数$f(x)$を次式で定義する．
\[ f(x)=(x^2+a)(x-a^2)^2-cx^2 \]

(1)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ．
今後，方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解を持つ場合のみを取り扱う．
(2)方程式$f(x)=0$の$3$個の異なる実数解を$a$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．このとき$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S(a)}{a^5}$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{4}{3}x^3+2x^2+2x+1$と関数$\displaystyle g(x)=\frac{2}{3}x^4+\frac{4}{3}x^3+2x^2+2x+1$がある．方程式$f(x)=0$の実数解を$\alpha$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$-1<\alpha<0$であることを示せ．
(2)$g(x)$の最小値を$\alpha$を用いて多項式で表せ．

$a,\ b,\ p,\ q$を実数の定数（ただし$a<b$）とする．$2$次方程式
\[ (*) \quad x^2-px+q=0 \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$(*)$が実数解をもち，それらがともに$a$以上$b$以下であるための必要十分条件を$p,\ q$についての連立不等式で表せ．
(2)$(1)$で導いた$p,\ q$についての連立不等式を満たす座標平面上の点$(p,\ q)$全体の集合を$D$とするとき，$a,\ b$を用いて$D$の面積を表せ．

$a$を定数とする．$2$次関数$f(x)$は等式
\[ f(x)=6(a+1)x^2-12x \int_0^1 f(t) \, dt+5a-2 \]
を満たすとする．このとき，$2$次関数$f(x)$と$3$次関数$g(x)=-4x^3+f(x)$について，次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(t) \, dt$を$a$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$g(x)$の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3)$3$次方程式$g(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし，$b \neq 0$とする．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし，列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$s$を行列$A$の成分を用いて表せ．
(2)$t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ．
(3)$\left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=BX$とし，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & u \\
t & v
\end{array} \right)$とするとき，行列$P$は逆行列をもち，
\[ AP=P \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right) \]
を満たすことを示せ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし，$b \neq 0$とする．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし，列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$s$を行列$A$の成分を用いて表せ．
(2)$t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ．
(3)$\left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=BX$とし，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & u \\
t & v
\end{array} \right)$とするとき，行列$P$は逆行列をもち，
\[ AP=P \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right) \]
を満たすことを示せ．

以下の問に答えよ．

(1)$0$以上の整数$n$に対して，$2$次方程式$x^2+2(n-5)x+n^2-n=0$が実数解をもつとする．このとき，$n$の値をすべて求めよ．
(2)二桁の自然数で，一の位の数と十の位の数の和の$2$乗がもとの二桁の自然数になるような数をすべて求めよ．

$t$を定数とする$2$次方程式$\displaystyle z^2-tz+t-\frac{1}{2}=0$について，次の各問に答えよ．ただし，定数$t$は実数とする．

(1)この$2$次方程式が実数解をもち，すべての解が$-1$以上$1$以下であるような定数$t$の値の範囲を求めよ．
(2)この$2$次方程式が$2$つの共役な虚数解$z=x \pm yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）をもち，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たすような定数$t$の値の範囲を求めよ．