$a$は実数であるとする．$x$の関数$f(x)$を，
\[ f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a-1}{2}x^2-ax+2 \]
により定義する．
\[ I=\int_0^6 |f^\prime(x)| \, dx \]
が最小になるような$a$の値と，そのときの$I$の値を求めよ．

袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

数列$a_n$を$\displaystyle a_n=n \left( \frac{81}{100} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定義する．

(1)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}<1$となる$n$の最小値は$[ア]$である．
(2)$\log_{10}a_{11}$を小数第$3$位を四捨五入して得られる値は$[イ]$である．
(3)$a_n<1$をみたす$n$を小さいものから順に$n_1,\ n_2,\ n_3,\ n_4,\ \cdots$とおく．$n_4$は$[ウ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}1.1=0.0414$であることを利用してよい．

次の問いに答えよ．

(1)$(ⅰ)$ \ $a>0$，$a \neq 1$，$M>0$である実数$a,\ M$に対し，$a$を底とする$M$の対数$\log_a M$の定義を述べよ．
$(ⅱ)$ $a>0$，$b>0$，$c>0$，$a \neq 1$，$c \neq 1$である実数$a,\ b,\ c$に対し，底の変換公式
\[ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} \]
が成り立つことを示せ．
(2)正の実数$x$の自然対数$\log x$は
\[ \log x=\int_1^x \frac{1}{t} \, dt \]
と表される．これを用いて，正の実数$x,\ y$に対し
\[ \log (xy)=\log x+\log y \]
が成り立つことを示せ．

整数$n$に対し，整数$f(n)$が次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすように定義されている．

(i) $f(2015)=0$
(ii) すべての整数$n$に対して，$f(f(n)+4)=n$
(iii) すべての整数$n$に対して，$f(2n)<f(2n+2)$

次の設問に答えよ．

(1)$f(4)$を求めよ．
(2)整数$n$に対し，$f(4n+1)$を求めよ．

次のように定義される数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．ただし，$x^2-x-1=0$の解が$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}$という事実を利用せよ．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \]

$k$を定数とする．$2$つの曲線$C_1$，$C_2$を，
\[ C_1:y=3x^2-6x+k,\quad C_2:y=x^2 \]
と定義する．曲線$C_1$，$C_2$はただひとつの共有点$\mathrm{A}$をもつ．

(1)$k$の値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(2)点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$をひき，直線$\ell$と曲線$C_1$との交点を$\mathrm{B}$，直線$\ell$と曲線$C_2$との交点を$\mathrm{C}$とする．ただし，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はいずれも点$\mathrm{A}$とは異なる点である．点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$とすると，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$[テ]p+[ト]$であり，直線$\ell$および曲線$C_1$，$C_2$で囲まれる部分の面積は
\[ [ナ] {|\frac{[ニ]|{[ヌ]}-p}}^3 \]
となる．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

$p,\ q$を正の実数として，曲線$C$を$\displaystyle x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}}=1 (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$により定義する．

(1)曲線$C$の方程式を$y$について解いて得られる関数を$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 1)$とおく．$y=f(x)$のグラフが$0<x<1$において変曲点をもつためには$p,\ q$が条件$[あ]$を満たすことが必要十分である．
(2)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(p,\ q)$とすると，$S(1,\ q)=[い]$であり，$p>1$ならば$S(p,\ q)$と$S(p-1,\ q+1)$の間には$S(p,\ q)=[う]S(p-1,\ q+1)$の関係がある．$p,\ q$がともに自然数であるときに$S(p,\ q)$を$p,\ q$の式で表すと$S(p,\ q)=[え]$である．
(3)$p=q=3$のとき，直線$\ell:x+y=\alpha$が曲線$C$と$2$点を共有するための必要十分条件は$[お]<\alpha \leqq 1$である．この条件が成り立つとき，直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_1,\ x_2$とすると$\displaystyle x_1^{\frac{1}{3}}x_2^{\frac{1}{3}}=[か]$かつ$\displaystyle \left( x_1^{\frac{1}{3}}-x_2^{\frac{1}{3}} \right)^2=[き]$である．さらに$\alpha_0=[お]$とおくとき$\displaystyle \lim_{\alpha \to \alpha_0+0} \frac{\mathrm{PQ}^2}{\alpha-\alpha_0}=[く]$が成り立つ．