「定数」について
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(7ページ目:全1257問中61問~70問を表示)![島根大学](./img/univ/shimane.png)
$a,\ b,\ c$を定数とする.$2$つの関数$f(x)=(|x-a|-1)^2$,$g(x)=-x^2+bx+c$について,次の問いに答えよ.
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 4$における最大値が$4$となるような$a$の値を求めよ.
(3)$a=1$のとき,不等式$f(x) \leqq g(x)$の解が$-1 \leqq x \leqq 3$となるような$b,\ c$の値を求めよ.
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 4$における最大値が$4$となるような$a$の値を求めよ.
(3)$a=1$のとき,不等式$f(x) \leqq g(x)$の解が$-1 \leqq x \leqq 3$となるような$b,\ c$の値を求めよ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
次の問いに答えよ.
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ.
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う.どの試合でも,$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$,引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして,$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において,
$\mathrm{BC}=30$,$\mathrm{CA}=26$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$,
$\mathrm{OA}=18$,$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき,辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ.
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う.どの試合でも,$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$,引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして,$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において,
$\mathrm{BC}=30$,$\mathrm{CA}=26$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$,
$\mathrm{OA}=18$,$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき,辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
次の問いに答えよ.
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ.
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う.どの試合でも,$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$,引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして,$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において,
$\mathrm{BC}=30$,$\mathrm{CA}=26$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$,
$\mathrm{OA}=18$,$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき,辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ.
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う.どの試合でも,$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$,引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして,$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において,
$\mathrm{BC}=30$,$\mathrm{CA}=26$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$,
$\mathrm{OA}=18$,$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき,辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
![電気通信大学](./img/univ/dentsu.png)
関数
\[ f(x)=2 \sin x+\sqrt{6} \sin 2x \]
について,以下の問いに答えよ.
(1)導関数$f^\prime(x)$および不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ.ただし,積分定数は省略してもよい.
(2)区間$0<x<\pi$において$f(x)=0$となる$x$の値を$\alpha$とする.このとき,$\cos \alpha$と$\cos 2 \alpha$の値を求めよ.
(3)区間$0<x<\pi$において$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を$\beta,\ \gamma (\beta<\gamma)$とする.このとき,$\cos \beta$と$\cos \gamma$の値を求めよ.
(4)区間$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値を求めよ.
(5)曲線$y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ.
\[ f(x)=2 \sin x+\sqrt{6} \sin 2x \]
について,以下の問いに答えよ.
(1)導関数$f^\prime(x)$および不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ.ただし,積分定数は省略してもよい.
(2)区間$0<x<\pi$において$f(x)=0$となる$x$の値を$\alpha$とする.このとき,$\cos \alpha$と$\cos 2 \alpha$の値を求めよ.
(3)区間$0<x<\pi$において$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を$\beta,\ \gamma (\beta<\gamma)$とする.このとき,$\cos \beta$と$\cos \gamma$の値を求めよ.
(4)区間$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値を求めよ.
(5)曲線$y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ.
![電気通信大学](./img/univ/dentsu.png)
等比数列$\{a_n\}$と等差数列$\{b_n\}$を次の通りとする.
\[ a_n=\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-3},\quad b_n=\frac{3 \pi (n-1)}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
これらを用いて,座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を
\[ \mathrm{P}_n (a_n \cos b_n,\ a_n \sin b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P}_4$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であることを示せ.
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さ$l_n$を$n$の式で表せ.
(3)極限値$\displaystyle L=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n l_k$を求めよ.
(4)座標平面上の曲線$C$が媒介変数$t$と定数$\alpha,\ \beta$を用いて,
\[ x=2^{\alpha t+\beta} \cos t,\quad y=2^{\alpha t+\beta} \sin t \]
と表されるとする.曲線$C$が$t=0$で点$\mathrm{P}_1$を通り,$\displaystyle t=\frac{3 \pi}{4}$で点$\mathrm{P}_2$を通るとき,$\alpha,\ \beta$の値を求めよ.
(5)$(4)$で求めた$\alpha,\ \beta$の値に対し,曲線$C$がすべての点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を通ることを示せ.
\[ a_n=\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-3},\quad b_n=\frac{3 \pi (n-1)}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
これらを用いて,座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を
\[ \mathrm{P}_n (a_n \cos b_n,\ a_n \sin b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P}_4$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であることを示せ.
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さ$l_n$を$n$の式で表せ.
(3)極限値$\displaystyle L=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n l_k$を求めよ.
(4)座標平面上の曲線$C$が媒介変数$t$と定数$\alpha,\ \beta$を用いて,
\[ x=2^{\alpha t+\beta} \cos t,\quad y=2^{\alpha t+\beta} \sin t \]
と表されるとする.曲線$C$が$t=0$で点$\mathrm{P}_1$を通り,$\displaystyle t=\frac{3 \pi}{4}$で点$\mathrm{P}_2$を通るとき,$\alpha,\ \beta$の値を求めよ.
(5)$(4)$で求めた$\alpha,\ \beta$の値に対し,曲線$C$がすべての点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を通ることを示せ.
![山口大学](./img/univ/yamaguchi.png)
空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある.$\alpha$は$0<\alpha<1$を満たす定数とし,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$をそれぞれ次のように定める.
\begin{itemize}
$\mathrm{P}$は$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$の値を最小にする点
$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PB}$を$\alpha:1-\alpha$に内分する点
$\mathrm{R}$は$\mathrm{OC}$を$\alpha:1-\alpha$に内分する点
\end{itemize}
このとき,次の問いに答えなさい.
(1)$\mathrm{P}$の座標を求めなさい.
(2)$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を$\alpha$を用いてそれぞれ表しなさい.
(3)$\triangle \mathrm{CPR}$と$\triangle \mathrm{BCQ}$の面積をそれぞれ$S_1$,$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めなさい.
\begin{itemize}
$\mathrm{P}$は$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$の値を最小にする点
$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PB}$を$\alpha:1-\alpha$に内分する点
$\mathrm{R}$は$\mathrm{OC}$を$\alpha:1-\alpha$に内分する点
\end{itemize}
このとき,次の問いに答えなさい.
(1)$\mathrm{P}$の座標を求めなさい.
(2)$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を$\alpha$を用いてそれぞれ表しなさい.
(3)$\triangle \mathrm{CPR}$と$\triangle \mathrm{BCQ}$の面積をそれぞれ$S_1$,$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めなさい.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$と$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 0)$とを焦点とし,直線$\ell:y=kx$と直線$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある.$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき,以下の問いに答えよ.ただし,$k$は正の定数とする.
(1)双曲線$C$の方程式を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする.$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき,$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ.
(3)$k=2$のとき,$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.ただし,$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする.
(1)双曲線$C$の方程式を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする.$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき,$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ.
(3)$k=2$のとき,$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.ただし,$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
$a$を正の定数とし,$f(x)=(x+a) \log x$とする.曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線$\ell$が原点を通るとき,以下の問いに答えよ.
(1)$a$の値と,接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と$x$軸,および接線$\ell$とで囲まれた図形を,$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき,関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ.
(1)$a$の値と,接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と$x$軸,および接線$\ell$とで囲まれた図形を,$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき,関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$f(x)=x^3-3 |x|$とする.以下の問いに答えなさい.
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい.
(2)$f(x)+a=0$を満たす実数$x$が$1$つであるような定数$a$の値の範囲を求めなさい.
(3)曲線$y=f(x)+b$上の点$(-2,\ f(-2)+b)$における接線が原点を通るような定数$b$の値を求めなさい.また,その接線の方程式を求めなさい.
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい.
(2)$f(x)+a=0$を満たす実数$x$が$1$つであるような定数$a$の値の範囲を求めなさい.
(3)曲線$y=f(x)+b$上の点$(-2,\ f(-2)+b)$における接線が原点を通るような定数$b$の値を求めなさい.また,その接線の方程式を求めなさい.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$x,\ y,\ z$の$1$次方程式
\[ x+y+z=2k-1 \quad \cdots \quad ① \]
について,次の問に答えよ.ただし,定数$k$は$k \geqq 6$を満たす整数である.
(1)方程式$①$の整数解$(x,\ y,\ z)$のうち,$x>0$,$y>0$,$z>0$をすべて満たすものは全部で何個あるか,$k$を用いて表せ.
(2)$(1)$のうち,$x \leqq k$を満たすものは全部で何個あるか,$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$のうち,$x \leqq k$,$y \leqq k+1$,$z \leqq k+2$をすべて満たすものは全部で何個あるか,$k$を用いて表せ.
\[ x+y+z=2k-1 \quad \cdots \quad ① \]
について,次の問に答えよ.ただし,定数$k$は$k \geqq 6$を満たす整数である.
(1)方程式$①$の整数解$(x,\ y,\ z)$のうち,$x>0$,$y>0$,$z>0$をすべて満たすものは全部で何個あるか,$k$を用いて表せ.
(2)$(1)$のうち,$x \leqq k$を満たすものは全部で何個あるか,$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$のうち,$x \leqq k$,$y \leqq k+1$,$z \leqq k+2$をすべて満たすものは全部で何個あるか,$k$を用いて表せ.