次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$F=2 \sin \theta (\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta)$は
\[ \begin{array}{rcl}
F &=& [ア]-\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta \\
&=& [ア]-[イ] \sin \left( 2\theta+\frac{[ウ]}{[エ]} \pi \right)
\end{array} \]
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ]} \pi <2\pi$とする．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき，最大値$[キ]$をとる．
(2)$a$を正の定数とし，$f(x)=2x^3-ax^2+27$とする．$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]ax \]
であり，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]}a$のとき，極小値$\displaystyle 27-\frac{[シ]}{[スセ]} a^{[ソ]}$をとる．どのような正の数$x$に対しても不等式$2x^3+27>ax^2$が成り立つような$a$の値の範囲は$0<a<[タ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．

(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．

(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$は$0$でない実数，$i$は虚数単位とする．
\[ \left( x+\frac{1}{yi} \right) \cdot \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+bi}=-\frac{d}{c}i \]
の関係があるとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$t$は$t>-1$を満たす定数とする．$-1 \leqq x \leqq t$における関数$f(x)=2x^2-4x+1$の最大値と最小値の差が$8$であるような$t$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)円$(x-a)^2+(y-b)^2=A$（$a,\ b,\ A$は定数で$A>0$）と直線$y=x$が接するとき，$A$を$a$と$b$で表すと$A=[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=5$に接し，傾きが$-2$である直線の方程式は$[カ]$である．

関数$f(x)=-2 \sin^2 x+\cos^2 x-6a \cos x$において，定数$a$が$0<a<1$を満たすとき，$f(x)$の最小値は$[ト]$となる．$\displaystyle a=\frac{1}{3}$のとき，$f(x)$の最小値は$[ナ]$であり，最大値は$[ニ]$である．

$m$を定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$x^2+y^2=4$と直線$y=mx+4$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．

(1)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[アイ] m}{[ウ]+m^2},\ \alpha\beta=\frac{[エオ]}{[ウ]+m^2}$である．
(2)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{[カ] \sqrt{m^2-[キ]}}{\sqrt{[ク]+m^2}}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$のとき，$m=\pm \sqrt{[ケ]}$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[コ] \sqrt{[サ]}$である．

$a,\ b$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x-a}{b}}+2} \quad (x>0) \]
を考える．

(1)$x>a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=[ア]$であり，$x<a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)曲線$y=f(x)$の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[エオ]}{[カ]b}x+\frac{a+[キ]b}{[ク]b}$である．
(3)$\displaystyle b=\frac{1}{3}$とする．$t=e^{3(x-a)}$とおくと，$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{[ケ]t}$であり，正の定数$c$に対して，
\[ \int_a^{a+c}f(x) \, dx=\frac{1}{[コ]} \log \left( \frac{[サ]e^{3c}}{e^{3c}+[シ]} \right) \]
となる．また，正の定数$p,\ q$が，$\displaystyle \int_{a-q}^{a+p} f(x) \, dx=\frac{4}{3}p$を満たすとき，
\[ q=\frac{1}{[ス]} \log \left( \frac{e^{[セ]p}+[ソ]e^{[タ]p}-1}{[チ]} \right) \]
となる．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$a$を実数の定数として，放物線$y=2x^2-(a+3)x+a+1$のグラフの頂点は$([ア],\ [イ])$で，この点は$a$の値にかかわらず，放物線$y=[ウ]x^2+[エ]x-[オ]$上にある．
(2)平面上の直線$y=2x+1$と点$(0,\ 1)$において${45}^\circ$の角度で交わる直線は$2$つあり，これらの直線の方程式は，$[カ]$と$[キ]$である．
(3)$5$つの数$\sqrt[3]{4}$，$1$，$16^{\frac{1}{5}}$，$\log_43$，$\log_32$を小さいほうから順に並べると
\[ [ク]<[ケ]<[コ]<[サ]<[シ] \]
となる．
(4)方程式$7x+19y=2014$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ス]$個ある．

次の各問に答えよ．

(1)折れ線$L:y=4 |x|-5 |x-2|+4 |x-3|$は
$x<0$のとき，$y=[アイ]x+[ウ]$
$0 \leqq x<2$のとき，$y=[エ]x+[オ]$
$2 \leqq x<3$のとき，$y=[カキ]x+[クケ]$
$3 \leqq x$のとき，$y=3x-2$
と表される．$L$と直線$y=2x+k$（$k$は定数）の共有点が$4$個となるような$k$の値の範囲は，$[コ]<k<[サ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列とすると，$a_{50}=[シスセ]$である．数列$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$b_1=5$で，$b_{50}=299$をみたす等差数列とすると，$\{b_n\}$の公差は$[ソ]$である．
集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{50} \},\quad B=\{b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{50} \} \]
と定める．共通部分$A \cap B$の要素のうち，最小のものは$[タチ]$であり，$A \cap B$の要素の個数は$[ツテ]$である．

$a$を定数とする．関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=7x+\int_1^x (at+5) \, dt$，$f^\prime(1)=4$で定める．

(1)$f(1)=[シ]$である．
(2)$a=[スセ]$である．
(3)$f(x)=[ソタ]x^2+[チツ]x-[テ]$である．
(4)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ト]}{[ナ]}$で最大値$[ニ]$をとる．