$x>0$を実数とし，$\displaystyle f(x)=\left( \frac{10}{x} \right)^{45}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(2)$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$|\log_{10|x-0.3010}<0.01$となる実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数を求めよ．
(3)$d$を定数とする．$|\log_{10|x-0.3010}<d$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数が同じになる．このような性質を持つ定数$d$のとる値の範囲を求めよ．

$s,\ t$を実数とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に定点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$と動点$\mathrm{P}(s,\ s+2,\ t)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と垂直であるか$\overrightarrow{\mathrm{0}}$である．次の問いに答えよ．

(1)$t^2$を$s$を用いて表せ．
(2)$y$軸上の定点$\mathrm{B}(0,\ k,\ 0)$に対して，動点$\mathrm{P}$が変化しても$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$が常に一定となる定数$k$の値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$のとる値の範囲を求めよ．

関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^x (-t+x)(t-x+2) \, dt$で定義されている．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x$の整式で表せ．
(2)$y=f(x)$の極値を求めよ．
(3)$k \geqq 0$を定数とする．$x$に関する方程式$f(x)=k$が自然数の解をもつときの定数$k$をすべて求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2},\ y=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$のとき，$x^2+y^2$の値を求めよ．
(2)$x$の整式$f(x)$を$x^2-x-6$で割った余りが$3ax+15$で，$f(x)$を$x^2-7x+12$で割った余りが$5x-3$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
(3)${(2x-3y)}^5$の展開式における，$x^2y^3$の係数を求めよ．

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq 1-x^2 \\
(x-1)^2+(y-1)^2 \leqq 1
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$0 \leqq a \leqq 2$を満たす定数$a$に対して$ax+y$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．次の問いに答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)$M$および$m$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

自然数$n$に対して，$0$以上の実数を定義域とする$x$の関数$R_n(x)$を
\[ R_n(x)=\frac{1}{1+x^p}-\sum_{k=0}^{n-1}(-x^p)^k \]
とする．ただし，$p$は正の定数である．以下の問いに答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2)次の等式を示せ．
\[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3)以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．

(i) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$

(ii) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$

実数$a,\ b$を定数とし，関数$f(x)=(1-2a)x^2+2(a+b-1)x+1-b$を考える．次の問に答えなさい．

(1)すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 0$が成り立つような実数の組$(a,\ b)$の範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$を満たす，すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 0$が成り立つような実数の組$(a,\ b)$の範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．

異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．

(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．

異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．

(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．

$a$を正の定数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$（ただし$t \neq 0$）に対して，$C$の$\mathrm{P}$での接線を$m$，$\mathrm{P}$を通り，$y$軸に平行な直線を$v$とする．直線$m$に関して$v$を対称移動した直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$の傾きを，$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$\ell$の$y$切片は$t$によらず一定であることを示せ．