以下の$(1)$～$(4)$の$[$1$]$～$[$4$]$に適切な値を答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$A=e^2$とするとき，
\[ 8 \left( 1+\cos^3 \frac{\pi}{18} \right) \log_A e-\frac{3}{2} \left( 1+\cos \frac{\pi}{18} \right) \log_e A=[$1$] \]
である．
(2)$b$を正の定数，$x$を正の実数とする．方程式$\log_e x=bx$が異なる$2$つの実数解をもつのは$0<b<[$2$]$のときである．
(3)数列$\{c_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，初項$1$，公差$2$の等差数列とする．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$に対して$T_n=\log_e S_n$，$U_n=e^{T_n}$と定義する．数列$\{U_n\}$の初項から第$24$項までの和の値は$[$3$]$となる．

(4)定積分$\displaystyle \int_0^D \frac{2e^x}{2e^x+3} \, dx$の値は$[$4$]$である．ただし，$D=\log_e 3$とする．

以下の問いに答えなさい．

(1)次の定積分を求めなさい．ただし，$a$は正の定数とする．
\[ 1) \quad \int_0^a te^{-t} \, dt \qquad\qquad 2) \quad \int_0^a t^2 e^{-t} \, dt \]
(2)以下の空欄$[$1$]$～$[$5$]$に適切な値を答えなさい．

$x \geqq 0$で定義された関数$f(x)=(\sqrt{x}-1)e^{-\sqrt{x}}$に対して，$y=f(x)$の表す曲線を$C$とおく．$C$は$x=[$1$]$で極大値$[$2$]$をとる．$C$上の点$(t,\ f(t))$での接線が原点を通るのは$t=[$3$]$のときである．このときの接線を$\ell$とおくと，$\ell$の傾きは$[$4$]$となる．また，$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた部分の面積は$[$5$]$である．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx-3$が$x=-2$で極大値，$x=4$で極小値をとるとき，定数$a$の値は$-[ネ]$，定数$b$の値は$-[ノ][ハ]$となる．また，極大値は$[ヒ][フ]$，極小値は$-[ヘ][ホ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 2)$の値域が$1 \leqq y \leqq 7$となるような定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(2)次の$2$次関数の頂点の座標を求めよ．

\mon[$①$] $y=2x^2+12x+16$
\mon[$②$] $y=-2x^2+4x+3$

(3)$2$次方程式$x^2-2mx+4m-3=0$が異なる$2$つの実数解を持たない定数$m$の範囲を求めよ．

$a$と$b$を定数とし，$2$次関数$y=-x^2+ax+a+b$のグラフを$F$とする．次の問いに答えよ．

(1)グラフ$F$の軸を求めよ．
(2)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有するとき，$a$と$b$の関係を求めよ．
(3)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有し，そのうち$1$つの$x$座標が$3$であるとする．このとき，$b$を$a$で表すと$b=[　]$である．また，もう$1$つの共有点の$x$座標は$[　]$である．
(4)$(3)$で求めた$x$座標が，区間$-3 \leqq x \leqq 0$に含まれるとき，$a$の範囲は$[　]$である．また，このとき，グラフ$F$の頂点の$y$座標の最大値は$[　]$，最小値は$[　]$である．

関数$f(x)=3x^2+5$のグラフ上の点$(-2,\ f(-2))$における接線を$\ell_1$とし，直線$x=k$（ただし，$k \neq -2$）を$\ell_2$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$のグラフと接線$\ell_1$，直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{125}{8}$となるとき，定数$k$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$(a-1)x^2+2(a+1)x+a+2=0$が重解をもつとき，定数$a$の値とその重解を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$で，$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=-\frac{1}{4}$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$x,\ y$が$x^2+y^2=4$を満たすとき，$2x+y^2$の最大値と最小値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$k$を定数とする．関数$f(x)$は，条件$f^\prime(x)=12x^2-2x-2$，$f(0)=k$を満たしている．次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を$k$を用いて表せ．
(2)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を，$k$の値によって分類せよ．

放物線$y=x^2+kx+1$と$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(2,\ 4)$がある．次の各問に答えよ．

(1)この放物線と直線$\mathrm{OP}$が異なる$2$個の共有点をもつとき，定数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)この放物線と線分$\mathrm{OP}$が異なる$2$個の共有点をもつとき，定数$k$の値の範囲を求めよ．

$k$を正の定数とする．放物線$y=-x^2-2x+3 \cdots\cdots①$と直線$y=k \cdots\cdots②$について，次の各問に答えよ．

(1)放物線$①$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)放物線$①$と直線$②$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっているとき，原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結んでできる$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．